Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60785 / 83503
↖ ↑ ↗
← S 44.180234°
W 13.049011°		 ← 219.04 m → S 44.180234°
W 13.046264°		 →
↑
219.03 m
↓
↑
219.03 m
↓
S 44.182204°
W 13.049011°		 ← 219.03 m →
47 976 m²		 S 44.182204°
W 13.046264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463756561279297 y=0.637081146240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463756561279297 × 217)
    floor (0.463756561279297 × 131072)
    floor (60785.5)     		tx = 60785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637081146240234 × 217)
    floor (0.637081146240234 × 131072)
    floor (83503.5)     		ty = 83503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60785 / 83503 ti = "17/60785/83503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60785/83503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60785 ÷ 217
    60785 ÷ 131072     		x = 0.463752746582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83503 ÷ 217
    83503 ÷ 131072     		y = 0.637077331542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463752746582031 × 2 - 1) × π
    -0.0724945068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22774821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637077331542969 × 2 - 1) × π
    -0.274154663085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.861282275473549
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22774821} λ = -0.22774821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.861282275473549))-π/2
    2×atan(0.422619819697586)-π/2
    2×0.399852887193695-π/2
    0.79970577438739-1.57079632675     		φ = -0.77109055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22774821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.049011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77109055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.180234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60785 KachelY 83503 -0.22774821 -0.77109055 -13.049011 -44.180234
    Oben rechts KachelX + 1 60786 KachelY 83503 -0.22770027 -0.77109055 -13.046264 -44.180234
    Unten links KachelX 60785 KachelY + 1 83504 -0.22774821 -0.77112493 -13.049011 -44.182204
    Unten rechts KachelX + 1 60786 KachelY + 1 83504 -0.22770027 -0.77112493 -13.046264 -44.182204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77109055--0.77112493) × R
    3.43800000000005e-05 × 6371000     		dl = 219.034980000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77109055--0.77112493) × R
    3.43800000000005e-05 × 6371000     		dr = 219.034980000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22774821--0.22770027) × cos(-0.77109055) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.717151072571651 × 6371000     		do = 219.036397031973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22774821--0.22770027) × cos(-0.77112493) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.717127112115856 × 6371000     		du = 219.029078892031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77109055)-sin(-0.77112493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717151072571651-0.717127112115856)×R²
    abs(-0.22770027--0.22774821)×2.39604557957795e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39604557957795e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39604557957795e-05×40589641000000     		ar = 47975.8313836429m²