Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60785 / 40757
↖ ↑ ↗
← N 56.088895°
W 13.049011°		 ← 170.40 m → N 56.088895°
W 13.046264°		 →
↑
170.42 m
↓
↑
170.42 m
↓
N 56.087362°
W 13.049011°		 ← 170.41 m →
29 041 m²		 N 56.087362°
W 13.046264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463756561279297 y=0.310955047607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463756561279297 × 217)
    floor (0.463756561279297 × 131072)
    floor (60785.5)     		tx = 60785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310955047607422 × 217)
    floor (0.310955047607422 × 131072)
    floor (40757.5)     		ty = 40757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60785 / 40757 ti = "17/60785/40757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60785/40757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60785 ÷ 217
    60785 ÷ 131072     		x = 0.463752746582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40757 ÷ 217
    40757 ÷ 131072     		y = 0.310951232910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463752746582031 × 2 - 1) × π
    -0.0724945068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22774821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310951232910156 × 2 - 1) × π
    0.378097534179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.18782843568537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22774821} λ = -0.22774821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18782843568537))-π/2
    2×atan(3.27995084395731)-π/2
    2×1.27486610776899-π/2
    2.54973221553797-1.57079632675     		φ = 0.97893589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22774821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.049011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97893589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.088895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60785 KachelY 40757 -0.22774821 0.97893589 -13.049011 56.088895
    Oben rechts KachelX + 1 60786 KachelY 40757 -0.22770027 0.97893589 -13.046264 56.088895
    Unten links KachelX 60785 KachelY + 1 40758 -0.22774821 0.97890914 -13.049011 56.087362
    Unten rechts KachelX + 1 60786 KachelY + 1 40758 -0.22770027 0.97890914 -13.046264 56.087362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97893589-0.97890914) × R
    2.67500000000753e-05 × 6371000     		dl = 170.42425000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97893589-0.97890914) × R
    2.67500000000753e-05 × 6371000     		dr = 170.42425000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22774821--0.22770027) × cos(0.97893589) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.557905971789684 × 6371000     		do = 170.39884428427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22774821--0.22770027) × cos(0.97890914) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.557928171526545 × 6371000     		du = 170.405624655329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97893589)-sin(0.97890914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557905971789684-0.557928171526545)×R²
    abs(-0.22770027--0.22774821)×2.219973686024e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.219973686024e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.219973686024e-05×40589641000000     		ar = 29040.6730095168m²