Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60784 / 83563
↖ ↑ ↗
← S 44.298298°
W 13.051758°		 ← 218.60 m → S 44.298298°
W 13.049011°		 →
↑
218.59 m
↓
↑
218.59 m
↓
S 44.300264°
W 13.051758°		 ← 218.59 m →
47 782 m²		 S 44.300264°
W 13.049011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463748931884766 y=0.637538909912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463748931884766 × 217)
    floor (0.463748931884766 × 131072)
    floor (60784.5)     		tx = 60784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637538909912109 × 217)
    floor (0.637538909912109 × 131072)
    floor (83563.5)     		ty = 83563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60784 / 83563 ti = "17/60784/83563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60784/83563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60784 ÷ 217
    60784 ÷ 131072     		x = 0.4637451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83563 ÷ 217
    83563 ÷ 131072     		y = 0.637535095214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4637451171875 × 2 - 1) × π
    -0.072509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22779615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637535095214844 × 2 - 1) × π
    -0.275070190429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.864158489450752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22779615} λ = -0.22779615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.864158489450752))-π/2
    2×atan(0.421406021074185)-π/2
    2×0.398822580918477-π/2
    0.797645161836954-1.57079632675     		φ = -0.77315116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22779615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.051758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77315116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.298298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60784 KachelY 83563 -0.22779615 -0.77315116 -13.051758 -44.298298
    Oben rechts KachelX + 1 60785 KachelY 83563 -0.22774821 -0.77315116 -13.049011 -44.298298
    Unten links KachelX 60784 KachelY + 1 83564 -0.22779615 -0.77318547 -13.051758 -44.300264
    Unten rechts KachelX + 1 60785 KachelY + 1 83564 -0.22774821 -0.77318547 -13.049011 -44.300264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77315116--0.77318547) × R
    3.43100000000929e-05 × 6371000     		dl = 218.589010000592m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77315116--0.77318547) × R
    3.43100000000929e-05 × 6371000     		dr = 218.589010000592m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22779615--0.22774821) × cos(-0.77315116) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.715713475367694 × 6371000     		do = 218.597317842133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22779615--0.22774821) × cos(-0.77318547) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.715689513047268 × 6371000     		du = 218.589999132685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77315116)-sin(-0.77318547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715713475367694-0.715689513047268)×R²
    abs(-0.22774821--0.22779615)×2.39623204258965e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39623204258965e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39623204258965e-05×40589641000000     		ar = 47782.171405907m²