Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60782 / 83546
↖ ↑ ↗
← S 44.264871°
W 13.057251°		 ← 218.72 m → S 44.264871°
W 13.054504°		 →
↑
218.72 m
↓
↑
218.72 m
↓
S 44.266838°
W 13.057251°		 ← 218.71 m →
47 837 m²		 S 44.266838°
W 13.054504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463733673095703 y=0.637409210205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463733673095703 × 217)
    floor (0.463733673095703 × 131072)
    floor (60782.5)     		tx = 60782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637409210205078 × 217)
    floor (0.637409210205078 × 131072)
    floor (83546.5)     		ty = 83546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60782 / 83546 ti = "17/60782/83546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60782/83546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60782 ÷ 217
    60782 ÷ 131072     		x = 0.463729858398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83546 ÷ 217
    83546 ÷ 131072     		y = 0.637405395507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463729858398438 × 2 - 1) × π
    -0.072540283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22789202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637405395507812 × 2 - 1) × π
    -0.274810791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.863343562157211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22789202} λ = -0.22789202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.863343562157211))-π/2
    2×atan(0.421749576309677)-π/2
    2×0.399114291127393-π/2
    0.798228582254786-1.57079632675     		φ = -0.77256774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22789202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.057251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77256774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.264871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60782 KachelY 83546 -0.22789202 -0.77256774 -13.057251 -44.264871
    Oben rechts KachelX + 1 60783 KachelY 83546 -0.22784408 -0.77256774 -13.054504 -44.264871
    Unten links KachelX 60782 KachelY + 1 83547 -0.22789202 -0.77260207 -13.057251 -44.266838
    Unten rechts KachelX + 1 60783 KachelY + 1 83547 -0.22784408 -0.77260207 -13.054504 -44.266838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77256774--0.77260207) × R
    3.43300000000824e-05 × 6371000     		dl = 218.716430000525m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77256774--0.77260207) × R
    3.43300000000824e-05 × 6371000     		dr = 218.716430000525m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22789202--0.22784408) × cos(-0.77256774) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.716120810582699 × 6371000     		do = 218.721728501604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22789202--0.22784408) × cos(-0.77260207) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.716096848632629 × 6371000     		du = 218.714409905272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77256774)-sin(-0.77260207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716120810582699-0.716096848632629)×R²
    abs(-0.22784408--0.22789202)×2.39619500700394e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39619500700394e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39619500700394e-05×40589641000000     		ar = 47837.2352773163m²