Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60782 / 33892
↖ ↑ ↗
← N 65.252108°
W 13.057251°		 ← 127.86 m → N 65.252108°
W 13.054504°		 →
↑
127.80 m
↓
↑
127.80 m
↓
N 65.250958°
W 13.057251°		 ← 127.86 m →
16 341 m²		 N 65.250958°
W 13.054504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463733673095703 y=0.258579254150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463733673095703 × 217)
    floor (0.463733673095703 × 131072)
    floor (60782.5)     		tx = 60782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258579254150391 × 217)
    floor (0.258579254150391 × 131072)
    floor (33892.5)     		ty = 33892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60782 / 33892 ti = "17/60782/33892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60782/33892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60782 ÷ 217
    60782 ÷ 131072     		x = 0.463729858398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33892 ÷ 217
    33892 ÷ 131072     		y = 0.258575439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463729858398438 × 2 - 1) × π
    -0.072540283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22789202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258575439453125 × 2 - 1) × π
    0.48284912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51691525157706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22789202} λ = -0.22789202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51691525157706))-π/2
    2×atan(4.55814276223045)-π/2
    2×1.35483022524513-π/2
    2.70966045049025-1.57079632675     		φ = 1.13886412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22789202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.057251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13886412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.252108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60782 KachelY 33892 -0.22789202 1.13886412 -13.057251 65.252108
    Oben rechts KachelX + 1 60783 KachelY 33892 -0.22784408 1.13886412 -13.054504 65.252108
    Unten links KachelX 60782 KachelY + 1 33893 -0.22789202 1.13884406 -13.057251 65.250958
    Unten rechts KachelX + 1 60783 KachelY + 1 33893 -0.22784408 1.13884406 -13.054504 65.250958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13886412-1.13884406) × R
    2.00599999999884e-05 × 6371000     		dl = 127.802259999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13886412-1.13884406) × R
    2.00599999999884e-05 × 6371000     		dr = 127.802259999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22789202--0.22784408) × cos(1.13886412) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.418626332956921 × 6371000     		do = 127.859257526844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22789202--0.22784408) × cos(1.13884406) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.418644550533661 × 6371000     		du = 127.864821643701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13886412)-sin(1.13884406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418626332956921-0.418644550533661)×R²
    abs(-0.22784408--0.22789202)×1.82175767408088e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82175767408088e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82175767408088e-05×40589641000000     		ar = 16341.0576277991m²