Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60781 / 83311
↖ ↑ ↗
← S 43.800836°
W 13.059998°		 ← 220.44 m → S 43.800836°
W 13.057251°		 →
↑
220.44 m
↓
↑
220.44 m
↓
S 43.802819°
W 13.059998°		 ← 220.43 m →
48 592 m²		 S 43.802819°
W 13.057251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463726043701172 y=0.635616302490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463726043701172 × 217)
    floor (0.463726043701172 × 131072)
    floor (60781.5)     		tx = 60781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635616302490234 × 217)
    floor (0.635616302490234 × 131072)
    floor (83311.5)     		ty = 83311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60781 / 83311 ti = "17/60781/83311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60781/83311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60781 ÷ 217
    60781 ÷ 131072     		x = 0.463722229003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83311 ÷ 217
    83311 ÷ 131072     		y = 0.635612487792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463722229003906 × 2 - 1) × π
    -0.0725555419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22793996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635612487792969 × 2 - 1) × π
    -0.271224975585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.852078390746498
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22793996} λ = -0.22793996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.852078390746498))-π/2
    2×atan(0.426527519223894)-π/2
    2×0.403163758200081-π/2
    0.806327516400162-1.57079632675     		φ = -0.76446881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22793996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.059998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76446881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.800836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60781 KachelY 83311 -0.22793996 -0.76446881 -13.059998 -43.800836
    Oben rechts KachelX + 1 60782 KachelY 83311 -0.22789202 -0.76446881 -13.057251 -43.800836
    Unten links KachelX 60781 KachelY + 1 83312 -0.22793996 -0.76450341 -13.059998 -43.802819
    Unten rechts KachelX + 1 60782 KachelY + 1 83312 -0.22789202 -0.76450341 -13.057251 -43.802819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76446881--0.76450341) × R
    3.45999999999957e-05 × 6371000     		dl = 220.436599999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76446881--0.76450341) × R
    3.45999999999957e-05 × 6371000     		dr = 220.436599999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22793996--0.22789202) × cos(-0.76446881) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.721750124373937 × 6371000     		do = 220.441065831985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22793996--0.22789202) × cos(-0.76450341) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.721726175423558 × 6371000     		du = 220.433751206093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76446881)-sin(-0.76450341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721750124373937-0.721726175423558)×R²
    abs(-0.22789202--0.22793996)×2.39489503789381e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39489503789381e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39489503789381e-05×40589641000000     		ar = 48592.4728515741m²