Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60780 / 56381
↖ ↑ ↗
← N 24.374619°
W 13.062744°		 ← 278.14 m → N 24.374619°
W 13.059998°		 →
↑
278.22 m
↓
↑
278.22 m
↓
N 24.372117°
W 13.062744°		 ← 278.15 m →
77 386 m²		 N 24.372117°
W 13.059998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463718414306641 y=0.430156707763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463718414306641 × 217)
    floor (0.463718414306641 × 131072)
    floor (60780.5)     		tx = 60780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430156707763672 × 217)
    floor (0.430156707763672 × 131072)
    floor (56381.5)     		ty = 56381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60780 / 56381 ti = "17/60780/56381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60780/56381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60780 ÷ 217
    60780 ÷ 131072     		x = 0.463714599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56381 ÷ 217
    56381 ÷ 131072     		y = 0.430152893066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463714599609375 × 2 - 1) × π
    -0.07257080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22798789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430152893066406 × 2 - 1) × π
    0.139694213867188 × 3.1415926535     		Φ = 0.438862316021614
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22798789} λ = -0.22798789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.438862316021614))-π/2
    2×atan(1.55094173285851)-π/2
    2×0.998106841951929-π/2
    1.99621368390386-1.57079632675     		φ = 0.42541736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22798789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.062744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42541736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.374619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60780 KachelY 56381 -0.22798789 0.42541736 -13.062744 24.374619
    Oben rechts KachelX + 1 60781 KachelY 56381 -0.22793996 0.42541736 -13.059998 24.374619
    Unten links KachelX 60780 KachelY + 1 56382 -0.22798789 0.42537369 -13.062744 24.372117
    Unten rechts KachelX + 1 60781 KachelY + 1 56382 -0.22793996 0.42537369 -13.059998 24.372117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42541736-0.42537369) × R
    4.36699999999957e-05 × 6371000     		dl = 278.221569999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42541736-0.42537369) × R
    4.36699999999957e-05 × 6371000     		dr = 278.221569999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22798789--0.22793996) × cos(0.42541736) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.910866567410931 × 6371000     		do = 278.144064083743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22798789--0.22793996) × cos(0.42537369) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.910884589194046 × 6371000     		du = 278.149567252019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42541736)-sin(0.42537369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910866567410931-0.910884589194046)×R²
    abs(-0.22793996--0.22798789)×1.8021783114941e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.8021783114941e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.8021783114941e-05×40589641000000     		ar = 77386.443757996m²