Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60780 / 40794
↖ ↑ ↗
← N 56.032157°
W 13.062744°		 ← 170.61 m → N 56.032157°
W 13.059998°		 →
↑
170.62 m
↓
↑
170.62 m
↓
N 56.030622°
W 13.062744°		 ← 170.62 m →
29 110 m²		 N 56.030622°
W 13.059998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463718414306641 y=0.311237335205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463718414306641 × 217)
    floor (0.463718414306641 × 131072)
    floor (60780.5)     		tx = 60780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311237335205078 × 217)
    floor (0.311237335205078 × 131072)
    floor (40794.5)     		ty = 40794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60780 / 40794 ti = "17/60780/40794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60780/40794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60780 ÷ 217
    60780 ÷ 131072     		x = 0.463714599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40794 ÷ 217
    40794 ÷ 131072     		y = 0.311233520507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463714599609375 × 2 - 1) × π
    -0.07257080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22798789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311233520507812 × 2 - 1) × π
    0.377532958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.18605477039943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22798789} λ = -0.22798789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18605477039943))-π/2
    2×atan(3.27413846513682)-π/2
    2×1.27437097429945-π/2
    2.5487419485989-1.57079632675     		φ = 0.97794562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22798789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.062744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97794562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.032157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60780 KachelY 40794 -0.22798789 0.97794562 -13.062744 56.032157
    Oben rechts KachelX + 1 60781 KachelY 40794 -0.22793996 0.97794562 -13.059998 56.032157
    Unten links KachelX 60780 KachelY + 1 40795 -0.22798789 0.97791884 -13.062744 56.030622
    Unten rechts KachelX + 1 60781 KachelY + 1 40795 -0.22793996 0.97791884 -13.059998 56.030622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97794562-0.97791884) × R
    2.6780000000004e-05 × 6371000     		dl = 170.615380000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97794562-0.97791884) × R
    2.6780000000004e-05 × 6371000     		dr = 170.615380000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22798789--0.22793996) × cos(0.97794562) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.558727527304014 × 6371000     		do = 170.61417195444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22798789--0.22793996) × cos(0.97791884) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.558749737131014 × 6371000     		du = 170.620953992298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97794562)-sin(0.97791884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558727527304014-0.558749737131014)×R²
    abs(-0.22793996--0.22798789)×2.22098269990756e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.22098269990756e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.22098269990756e-05×40589641000000     		ar = 29109.9803431358m²