Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60779 / 83553
↖ ↑ ↗
← S 44.278638°
W 13.065491°		 ← 218.67 m → S 44.278638°
W 13.062744°		 →
↑
218.65 m
↓
↑
218.65 m
↓
S 44.280604°
W 13.065491°		 ← 218.66 m →
47 812 m²		 S 44.280604°
W 13.062744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463710784912109 y=0.637462615966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463710784912109 × 217)
    floor (0.463710784912109 × 131072)
    floor (60779.5)     		tx = 60779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637462615966797 × 217)
    floor (0.637462615966797 × 131072)
    floor (83553.5)     		ty = 83553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60779 / 83553 ti = "17/60779/83553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60779/83553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60779 ÷ 217
    60779 ÷ 131072     		x = 0.463706970214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83553 ÷ 217
    83553 ÷ 131072     		y = 0.637458801269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463706970214844 × 2 - 1) × π
    -0.0725860595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22803583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637458801269531 × 2 - 1) × π
    -0.274917602539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.863679120454552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22803583} λ = -0.22803583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.863679120454552))-π/2
    2×atan(0.421608078481659)-π/2
    2×0.398994155058325-π/2
    0.79798831011665-1.57079632675     		φ = -0.77280802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22803583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.065491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77280802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.278638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60779 KachelY 83553 -0.22803583 -0.77280802 -13.065491 -44.278638
    Oben rechts KachelX + 1 60780 KachelY 83553 -0.22798789 -0.77280802 -13.062744 -44.278638
    Unten links KachelX 60779 KachelY + 1 83554 -0.22803583 -0.77284234 -13.065491 -44.280604
    Unten rechts KachelX + 1 60780 KachelY + 1 83554 -0.22798789 -0.77284234 -13.062744 -44.280604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77280802--0.77284234) × R
    3.43199999999211e-05 × 6371000     		dl = 218.652719999497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77280802--0.77284234) × R
    3.43199999999211e-05 × 6371000     		dr = 218.652719999497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22803583--0.22798789) × cos(-0.77280802) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.715953080154592 × 6371000     		do = 218.670499311479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22803583--0.22798789) × cos(-0.77284234) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.715929119279896 × 6371000     		du = 218.663181043594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77280802)-sin(-0.77284234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715953080154592-0.715929119279896)×R²
    abs(-0.22798789--0.22803583)×2.39608746958053e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39608746958053e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39608746958053e-05×40589641000000     		ar = 47812.0993833041m²