Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60779 / 83306
↖ ↑ ↗
← S 43.790924°
W 13.065491°		 ← 220.48 m → S 43.790924°
W 13.062744°		 →
↑
220.50 m
↓
↑
220.50 m
↓
S 43.792907°
W 13.065491°		 ← 220.47 m →
48 615 m²		 S 43.792907°
W 13.062744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463710784912109 y=0.635578155517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463710784912109 × 217)
    floor (0.463710784912109 × 131072)
    floor (60779.5)     		tx = 60779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635578155517578 × 217)
    floor (0.635578155517578 × 131072)
    floor (83306.5)     		ty = 83306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60779 / 83306 ti = "17/60779/83306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60779/83306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60779 ÷ 217
    60779 ÷ 131072     		x = 0.463706970214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83306 ÷ 217
    83306 ÷ 131072     		y = 0.635574340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463706970214844 × 2 - 1) × π
    -0.0725860595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22803583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635574340820312 × 2 - 1) × π
    -0.271148681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.851838706248398
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22803583} λ = -0.22803583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.851838706248398))-π/2
    2×atan(0.426629763510961)-π/2
    2×0.403250261532963-π/2
    0.806500523065925-1.57079632675     		φ = -0.76429580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22803583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.065491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76429580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.790924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60779 KachelY 83306 -0.22803583 -0.76429580 -13.065491 -43.790924
    Oben rechts KachelX + 1 60780 KachelY 83306 -0.22798789 -0.76429580 -13.062744 -43.790924
    Unten links KachelX 60779 KachelY + 1 83307 -0.22803583 -0.76433041 -13.065491 -43.792907
    Unten rechts KachelX + 1 60780 KachelY + 1 83307 -0.22798789 -0.76433041 -13.062744 -43.792907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76429580--0.76433041) × R
    3.4610000000046e-05 × 6371000     		dl = 220.500310000293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76429580--0.76433041) × R
    3.4610000000046e-05 × 6371000     		dr = 220.500310000293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22803583--0.22798789) × cos(-0.76429580) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.721869863084791 × 6371000     		do = 220.477637116354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22803583--0.22798789) × cos(-0.76433041) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.721845911534662 × 6371000     		du = 220.470321696432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76429580)-sin(-0.76433041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721869863084791-0.721845911534662)×R²
    abs(-0.22798789--0.22803583)×2.39515501286869e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39515501286869e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39515501286869e-05×40589641000000     		ar = 48614.5808111024m²