Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60778 / 83614
↖ ↑ ↗
← S 44.398467°
W 13.068237°		 ← 218.22 m → S 44.398467°
W 13.065491°		 →
↑
218.21 m
↓
↑
218.21 m
↓
S 44.400429°
W 13.068237°		 ← 218.22 m →
47 617 m²		 S 44.400429°
W 13.065491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463703155517578 y=0.637928009033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463703155517578 × 217)
    floor (0.463703155517578 × 131072)
    floor (60778.5)     		tx = 60778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637928009033203 × 217)
    floor (0.637928009033203 × 131072)
    floor (83614.5)     		ty = 83614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60778 / 83614 ti = "17/60778/83614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60778/83614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60778 ÷ 217
    60778 ÷ 131072     		x = 0.463699340820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83614 ÷ 217
    83614 ÷ 131072     		y = 0.637924194335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463699340820312 × 2 - 1) × π
    -0.072601318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22808377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637924194335938 × 2 - 1) × π
    -0.275848388671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.866603271331375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22808377} λ = -0.22808377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.866603271331375))-π/2
    2×atan(0.420377033606953)-π/2
    2×0.397948446170833-π/2
    0.795896892341666-1.57079632675     		φ = -0.77489943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22808377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.068237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77489943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.398467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60778 KachelY 83614 -0.22808377 -0.77489943 -13.068237 -44.398467
    Oben rechts KachelX + 1 60779 KachelY 83614 -0.22803583 -0.77489943 -13.065491 -44.398467
    Unten links KachelX 60778 KachelY + 1 83615 -0.22808377 -0.77493368 -13.068237 -44.400429
    Unten rechts KachelX + 1 60779 KachelY + 1 83615 -0.22803583 -0.77493368 -13.065491 -44.400429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77489943--0.77493368) × R
    3.42500000000134e-05 × 6371000     		dl = 218.206750000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77489943--0.77493368) × R
    3.42500000000134e-05 × 6371000     		dr = 218.206750000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22808377--0.22803583) × cos(-0.77489943) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.714491400888567 × 6371000     		do = 218.224064840011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22808377--0.22803583) × cos(-0.77493368) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.71446743765488 × 6371000     		du = 218.216745851629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77489943)-sin(-0.77493368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714491400888567-0.71446743765488)×R²
    abs(-0.22803583--0.22808377)×2.39632336869189e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39632336869189e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39632336869189e-05×40589641000000     		ar = 47617.1654389191m²