Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60777 / 83551
↖ ↑ ↗
← S 44.274705°
W 13.070984°		 ← 218.69 m → S 44.274705°
W 13.068237°		 →
↑
218.72 m
↓
↑
218.72 m
↓
S 44.276672°
W 13.070984°		 ← 218.68 m →
47 829 m²		 S 44.276672°
W 13.068237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463695526123047 y=0.637447357177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463695526123047 × 217)
    floor (0.463695526123047 × 131072)
    floor (60777.5)     		tx = 60777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637447357177734 × 217)
    floor (0.637447357177734 × 131072)
    floor (83551.5)     		ty = 83551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60777 / 83551 ti = "17/60777/83551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60777/83551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60777 ÷ 217
    60777 ÷ 131072     		x = 0.463691711425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83551 ÷ 217
    83551 ÷ 131072     		y = 0.637443542480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463691711425781 × 2 - 1) × π
    -0.0726165771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22813171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637443542480469 × 2 - 1) × π
    -0.274887084960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.863583246655312
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22813171} λ = -0.22813171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.863583246655312))-π/2
    2×atan(0.421648501587661)-π/2
    2×0.39902847677798-π/2
    0.79805695355596-1.57079632675     		φ = -0.77273937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22813171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.070984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77273937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.274705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60777 KachelY 83551 -0.22813171 -0.77273937 -13.070984 -44.274705
    Oben rechts KachelX + 1 60778 KachelY 83551 -0.22808377 -0.77273937 -13.068237 -44.274705
    Unten links KachelX 60777 KachelY + 1 83552 -0.22813171 -0.77277370 -13.070984 -44.276672
    Unten rechts KachelX + 1 60778 KachelY + 1 83552 -0.22808377 -0.77277370 -13.068237 -44.276672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77273937--0.77277370) × R
    3.43299999999713e-05 × 6371000     		dl = 218.716429999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77273937--0.77277370) × R
    3.43299999999713e-05 × 6371000     		dr = 218.716429999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22813171--0.22808377) × cos(-0.77273937) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.716001006355065 × 6371000     		do = 218.685137206724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22813171--0.22808377) × cos(-0.77277370) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.715977040185993 × 6371000     		du = 218.6778173218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77273937)-sin(-0.77277370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716001006355065-0.715977040185993)×R²
    abs(-0.22808377--0.22813171)×2.3966169071632e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3966169071632e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3966169071632e-05×40589641000000     		ar = 47829.2320190498m²