Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60777 / 83550
↖ ↑ ↗
← S 44.272738°
W 13.070984°		 ← 218.69 m → S 44.272738°
W 13.068237°		 →
↑
218.65 m
↓
↑
218.65 m
↓
S 44.274705°
W 13.070984°		 ← 218.69 m →
47 817 m²		 S 44.274705°
W 13.068237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463695526123047 y=0.637439727783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463695526123047 × 217)
    floor (0.463695526123047 × 131072)
    floor (60777.5)     		tx = 60777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637439727783203 × 217)
    floor (0.637439727783203 × 131072)
    floor (83550.5)     		ty = 83550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60777 / 83550 ti = "17/60777/83550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60777/83550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60777 ÷ 217
    60777 ÷ 131072     		x = 0.463691711425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83550 ÷ 217
    83550 ÷ 131072     		y = 0.637435913085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463691711425781 × 2 - 1) × π
    -0.0726165771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22813171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637435913085938 × 2 - 1) × π
    -0.274871826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.863535309755692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22813171} λ = -0.22813171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.863535309755692))-π/2
    2×atan(0.421668714594027)-π/2
    2×0.399045638499262-π/2
    0.798091276998523-1.57079632675     		φ = -0.77270505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22813171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.070984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77270505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.272738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60777 KachelY 83550 -0.22813171 -0.77270505 -13.070984 -44.272738
    Oben rechts KachelX + 1 60778 KachelY 83550 -0.22808377 -0.77270505 -13.068237 -44.272738
    Unten links KachelX 60777 KachelY + 1 83551 -0.22813171 -0.77273937 -13.070984 -44.274705
    Unten rechts KachelX + 1 60778 KachelY + 1 83551 -0.22808377 -0.77273937 -13.068237 -44.274705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77270505--0.77273937) × R
    3.43200000000321e-05 × 6371000     		dl = 218.652720000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77270505--0.77273937) × R
    3.43200000000321e-05 × 6371000     		dr = 218.652720000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22813171--0.22808377) × cos(-0.77270505) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.716024964699548 × 6371000     		do = 218.692454701816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22813171--0.22808377) × cos(-0.77273937) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.716001006355065 × 6371000     		du = 218.685137206724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77270505)-sin(-0.77273937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716024964699548-0.716001006355065)×R²
    abs(-0.22808377--0.22813171)×2.39583444828773e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39583444828773e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39583444828773e-05×40589641000000     		ar = 47816.9000735106m²