Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60777 / 33898
↖ ↑ ↗
← N 65.245208°
W 13.070984°		 ← 127.89 m → N 65.245208°
W 13.068237°		 →
↑
127.87 m
↓
↑
127.87 m
↓
N 65.244058°
W 13.070984°		 ← 127.90 m →
16 353 m²		 N 65.244058°
W 13.068237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463695526123047 y=0.258625030517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463695526123047 × 217)
    floor (0.463695526123047 × 131072)
    floor (60777.5)     		tx = 60777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258625030517578 × 217)
    floor (0.258625030517578 × 131072)
    floor (33898.5)     		ty = 33898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60777 / 33898 ti = "17/60777/33898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60777/33898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60777 ÷ 217
    60777 ÷ 131072     		x = 0.463691711425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33898 ÷ 217
    33898 ÷ 131072     		y = 0.258621215820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463691711425781 × 2 - 1) × π
    -0.0726165771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22813171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258621215820312 × 2 - 1) × π
    0.482757568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51662763017934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22813171} λ = -0.22813171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51662763017934))-π/2
    2×atan(4.5568319313587)-π/2
    2×1.35477001443689-π/2
    2.70954002887377-1.57079632675     		φ = 1.13874370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22813171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.070984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13874370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.245208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60777 KachelY 33898 -0.22813171 1.13874370 -13.070984 65.245208
    Oben rechts KachelX + 1 60778 KachelY 33898 -0.22808377 1.13874370 -13.068237 65.245208
    Unten links KachelX 60777 KachelY + 1 33899 -0.22813171 1.13872363 -13.070984 65.244058
    Unten rechts KachelX + 1 60778 KachelY + 1 33899 -0.22808377 1.13872363 -13.068237 65.244058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13874370-1.13872363) × R
    2.00699999999276e-05 × 6371000     		dl = 127.865969999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13874370-1.13872363) × R
    2.00699999999276e-05 × 6371000     		dr = 127.865969999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22813171--0.22808377) × cos(1.13874370) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.418735690376748 × 6371000     		do = 127.892658097719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22813171--0.22808377) × cos(1.13872363) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.418753916023088 × 6371000     		du = 127.89822467924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13874370)-sin(1.13872363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418735690376748-0.418753916023088)×R²
    abs(-0.22808377--0.22813171)×1.82256463398534e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82256463398534e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82256463398534e-05×40589641000000     		ar = 16353.4746722063m²