Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60776 / 83464
↖ ↑ ↗
← S 44.103366°
W 13.073730°		 ← 219.28 m → S 44.103366°
W 13.070984°		 →
↑
219.29 m
↓
↑
219.29 m
↓
S 44.105338°
W 13.073730°		 ← 219.27 m →
48 084 m²		 S 44.105338°
W 13.070984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463687896728516 y=0.636783599853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463687896728516 × 217)
    floor (0.463687896728516 × 131072)
    floor (60776.5)     		tx = 60776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636783599853516 × 217)
    floor (0.636783599853516 × 131072)
    floor (83464.5)     		ty = 83464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60776 / 83464 ti = "17/60776/83464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60776/83464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60776 ÷ 217
    60776 ÷ 131072     		x = 0.46368408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83464 ÷ 217
    83464 ÷ 131072     		y = 0.63677978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46368408203125 × 2 - 1) × π
    -0.0726318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22817964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63677978515625 × 2 - 1) × π
    -0.2735595703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.859412736388367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22817964} λ = -0.22817964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.859412736388367))-π/2
    2×atan(0.423410662994566)-π/2
    2×0.400523694878953-π/2
    0.801047389757906-1.57079632675     		φ = -0.76974894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22817964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.073730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76974894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.103366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60776 KachelY 83464 -0.22817964 -0.76974894 -13.073730 -44.103366
    Oben rechts KachelX + 1 60777 KachelY 83464 -0.22813171 -0.76974894 -13.070984 -44.103366
    Unten links KachelX 60776 KachelY + 1 83465 -0.22817964 -0.76978336 -13.073730 -44.105338
    Unten rechts KachelX + 1 60777 KachelY + 1 83465 -0.22813171 -0.76978336 -13.070984 -44.105338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76974894--0.76978336) × R
    3.44199999999795e-05 × 6371000     		dl = 219.289819999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76974894--0.76978336) × R
    3.44199999999795e-05 × 6371000     		dr = 219.289819999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22817964--0.22813171) × cos(-0.76974894) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.718085418696759 × 6371000     		do = 219.27602116665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22817964--0.22813171) × cos(-0.76978336) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.718061463501049 × 6371000     		du = 219.268706159458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76974894)-sin(-0.76978336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718085418696759-0.718061463501049)×R²
    abs(-0.22813171--0.22817964)×2.39551957103012e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39551957103012e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39551957103012e-05×40589641000000     		ar = 48084.1971633546m²