Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60776 / 40732
↖ ↑ ↗
← N 56.127184°
W 13.073730°		 ← 170.19 m → N 56.127184°
W 13.070984°		 →
↑
170.17 m
↓
↑
170.17 m
↓
N 56.125654°
W 13.073730°		 ← 170.20 m →
28 962 m²		 N 56.125654°
W 13.070984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463687896728516 y=0.310764312744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463687896728516 × 217)
    floor (0.463687896728516 × 131072)
    floor (60776.5)     		tx = 60776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310764312744141 × 217)
    floor (0.310764312744141 × 131072)
    floor (40732.5)     		ty = 40732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60776 / 40732 ti = "17/60776/40732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60776/40732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60776 ÷ 217
    60776 ÷ 131072     		x = 0.46368408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40732 ÷ 217
    40732 ÷ 131072     		y = 0.310760498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46368408203125 × 2 - 1) × π
    -0.0726318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22817964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310760498046875 × 2 - 1) × π
    0.37847900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18902685817587
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22817964} λ = -0.22817964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18902685817587))-π/2
    2×atan(3.28388396711734)-π/2
    2×1.27520024508682-π/2
    2.55040049017364-1.57079632675     		φ = 0.97960416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22817964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.073730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97960416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.127184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60776 KachelY 40732 -0.22817964 0.97960416 -13.073730 56.127184
    Oben rechts KachelX + 1 60777 KachelY 40732 -0.22813171 0.97960416 -13.070984 56.127184
    Unten links KachelX 60776 KachelY + 1 40733 -0.22817964 0.97957745 -13.073730 56.125654
    Unten rechts KachelX + 1 60777 KachelY + 1 40733 -0.22813171 0.97957745 -13.070984 56.125654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97960416-0.97957745) × R
    2.67099999999854e-05 × 6371000     		dl = 170.169409999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97960416-0.97957745) × R
    2.67099999999854e-05 × 6371000     		dr = 170.169409999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22817964--0.22813171) × cos(0.97960416) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.55735124719703 × 6371000     		do = 170.193908267123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22817964--0.22813171) × cos(0.97957745) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.557373423691906 × 6371000     		du = 170.200680126616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97960416)-sin(0.97957745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55735124719703-0.557373423691906)×R²
    abs(-0.22813171--0.22817964)×2.21764948754588e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.21764948754588e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.21764948754588e-05×40589641000000     		ar = 28962.3731389852m²