Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60775 / 83613
↖ ↑ ↗
← S 44.396505°
W 13.076477°		 ← 218.23 m → S 44.396505°
W 13.073730°		 →
↑
218.21 m
↓
↑
218.21 m
↓
S 44.398467°
W 13.076477°		 ← 218.22 m →
47 619 m²		 S 44.398467°
W 13.073730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463680267333984 y=0.637920379638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463680267333984 × 217)
    floor (0.463680267333984 × 131072)
    floor (60775.5)     		tx = 60775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637920379638672 × 217)
    floor (0.637920379638672 × 131072)
    floor (83613.5)     		ty = 83613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60775 / 83613 ti = "17/60775/83613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60775/83613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60775 ÷ 217
    60775 ÷ 131072     		x = 0.463676452636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83613 ÷ 217
    83613 ÷ 131072     		y = 0.637916564941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463676452636719 × 2 - 1) × π
    -0.0726470947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22822758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637916564941406 × 2 - 1) × π
    -0.275833129882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.866555334431755
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22822758} λ = -0.22822758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.866555334431755))-π/2
    2×atan(0.420397185661625)-π/2
    2×0.39796557170922-π/2
    0.79593114341844-1.57079632675     		φ = -0.77486518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22822758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.076477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77486518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.396505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60775 KachelY 83613 -0.22822758 -0.77486518 -13.076477 -44.396505
    Oben rechts KachelX + 1 60776 KachelY 83613 -0.22817964 -0.77486518 -13.073730 -44.396505
    Unten links KachelX 60775 KachelY + 1 83614 -0.22822758 -0.77489943 -13.076477 -44.398467
    Unten rechts KachelX + 1 60776 KachelY + 1 83614 -0.22817964 -0.77489943 -13.073730 -44.398467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77486518--0.77489943) × R
    3.42499999999024e-05 × 6371000     		dl = 218.206749999378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77486518--0.77489943) × R
    3.42499999999024e-05 × 6371000     		dr = 218.206749999378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22822758--0.22817964) × cos(-0.77486518) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.714515363284111 × 6371000     		do = 218.231383572528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22822758--0.22817964) × cos(-0.77489943) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.714491400888567 × 6371000     		du = 218.224064840137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77486518)-sin(-0.77489943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714515363284111-0.714491400888567)×R²
    abs(-0.22817964--0.22822758)×2.39623955439194e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39623955439194e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39623955439194e-05×40589641000000     		ar = 47618.762463421m²