Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60775 / 40231
↖ ↑ ↗
← N 56.886502°
W 13.076477°		 ← 166.85 m → N 56.886502°
W 13.073730°		 →
↑
166.79 m
↓
↑
166.79 m
↓
N 56.885002°
W 13.076477°		 ← 166.86 m →
27 831 m²		 N 56.885002°
W 13.073730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463680267333984 y=0.306941986083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463680267333984 × 217)
    floor (0.463680267333984 × 131072)
    floor (60775.5)     		tx = 60775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306941986083984 × 217)
    floor (0.306941986083984 × 131072)
    floor (40231.5)     		ty = 40231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60775 / 40231 ti = "17/60775/40231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60775/40231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60775 ÷ 217
    60775 ÷ 131072     		x = 0.463676452636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40231 ÷ 217
    40231 ÷ 131072     		y = 0.306938171386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463676452636719 × 2 - 1) × π
    -0.0726470947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22822758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306938171386719 × 2 - 1) × π
    0.386123657226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.21304324488552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22822758} λ = -0.22822758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21304324488552))-π/2
    2×atan(3.36370567221111)-π/2
    2×1.28182654511023-π/2
    2.56365309022047-1.57079632675     		φ = 0.99285676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22822758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.076477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99285676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.886502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60775 KachelY 40231 -0.22822758 0.99285676 -13.076477 56.886502
    Oben rechts KachelX + 1 60776 KachelY 40231 -0.22817964 0.99285676 -13.073730 56.886502
    Unten links KachelX 60775 KachelY + 1 40232 -0.22822758 0.99283058 -13.076477 56.885002
    Unten rechts KachelX + 1 60776 KachelY + 1 40232 -0.22817964 0.99283058 -13.073730 56.885002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99285676-0.99283058) × R
    2.61799999999868e-05 × 6371000     		dl = 166.792779999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99285676-0.99283058) × R
    2.61799999999868e-05 × 6371000     		dr = 166.792779999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22822758--0.22817964) × cos(0.99285676) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.546299299306742 × 6371000     		do = 166.853867752327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22822758--0.22817964) × cos(0.99283058) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.546321227226779 × 6371000     		du = 166.860565103531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99285676)-sin(0.99283058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546299299306742-0.546321227226779)×R²
    abs(-0.22817964--0.22822758)×2.19279200373013e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19279200373013e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19279200373013e-05×40589641000000     		ar = 27830.5789927385m²