Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60774 / 83612
↖ ↑ ↗
← S 44.394542°
W 13.079224°		 ← 218.24 m → S 44.394542°
W 13.076477°		 →
↑
218.21 m
↓
↑
218.21 m
↓
S 44.396505°
W 13.079224°		 ← 218.23 m →
47 620 m²		 S 44.396505°
W 13.076477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463672637939453 y=0.637912750244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463672637939453 × 217)
    floor (0.463672637939453 × 131072)
    floor (60774.5)     		tx = 60774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637912750244141 × 217)
    floor (0.637912750244141 × 131072)
    floor (83612.5)     		ty = 83612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60774 / 83612 ti = "17/60774/83612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60774/83612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60774 ÷ 217
    60774 ÷ 131072     		x = 0.463668823242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83612 ÷ 217
    83612 ÷ 131072     		y = 0.637908935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463668823242188 × 2 - 1) × π
    -0.072662353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22827552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637908935546875 × 2 - 1) × π
    -0.27581787109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.866507397532135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22827552} λ = -0.22827552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.866507397532135))-π/2
    2×atan(0.420417338682348)-π/2
    2×0.397982697821966-π/2
    0.795965395643932-1.57079632675     		φ = -0.77483093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22827552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.079224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77483093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.394542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60774 KachelY 83612 -0.22827552 -0.77483093 -13.079224 -44.394542
    Oben rechts KachelX + 1 60775 KachelY 83612 -0.22822758 -0.77483093 -13.076477 -44.394542
    Unten links KachelX 60774 KachelY + 1 83613 -0.22827552 -0.77486518 -13.079224 -44.396505
    Unten rechts KachelX + 1 60775 KachelY + 1 83613 -0.22822758 -0.77486518 -13.076477 -44.396505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77483093--0.77486518) × R
    3.42500000000134e-05 × 6371000     		dl = 218.206750000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77483093--0.77486518) × R
    3.42500000000134e-05 × 6371000     		dr = 218.206750000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22827552--0.22822758) × cos(-0.77483093) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.714539324841484 × 6371000     		do = 218.238702048794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22827552--0.22822758) × cos(-0.77486518) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.714515363284111 × 6371000     		du = 218.231383572402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77483093)-sin(-0.77486518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714539324841484-0.714515363284111)×R²
    abs(-0.22822758--0.22827552)×2.39615573726093e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39615573726093e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39615573726093e-05×40589641000000     		ar = 47620.3594325628m²