Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60774 / 83478
↖ ↑ ↗
← S 44.130971°
W 13.079224°		 ← 219.22 m → S 44.130971°
W 13.076477°		 →
↑
219.23 m
↓
↑
219.23 m
↓
S 44.132942°
W 13.079224°		 ← 219.21 m →
48 058 m²		 S 44.132942°
W 13.076477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463672637939453 y=0.636890411376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463672637939453 × 217)
    floor (0.463672637939453 × 131072)
    floor (60774.5)     		tx = 60774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636890411376953 × 217)
    floor (0.636890411376953 × 131072)
    floor (83478.5)     		ty = 83478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60774 / 83478 ti = "17/60774/83478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60774/83478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60774 ÷ 217
    60774 ÷ 131072     		x = 0.463668823242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83478 ÷ 217
    83478 ÷ 131072     		y = 0.636886596679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463668823242188 × 2 - 1) × π
    -0.072662353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22827552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636886596679688 × 2 - 1) × π
    -0.273773193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.860083852983047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22827552} λ = -0.22827552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.860083852983047))-π/2
    2×atan(0.423126600402487)-π/2
    2×0.400282791630492-π/2
    0.800565583260984-1.57079632675     		φ = -0.77023074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22827552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.079224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77023074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.130971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60774 KachelY 83478 -0.22827552 -0.77023074 -13.079224 -44.130971
    Oben rechts KachelX + 1 60775 KachelY 83478 -0.22822758 -0.77023074 -13.076477 -44.130971
    Unten links KachelX 60774 KachelY + 1 83479 -0.22827552 -0.77026515 -13.079224 -44.132942
    Unten rechts KachelX + 1 60775 KachelY + 1 83479 -0.22822758 -0.77026515 -13.076477 -44.132942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77023074--0.77026515) × R
    3.44099999999292e-05 × 6371000     		dl = 219.226109999549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77023074--0.77026515) × R
    3.44099999999292e-05 × 6371000     		dr = 219.226109999549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22827552--0.22822758) × cos(-0.77023074) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.717750024256286 × 6371000     		do = 219.219332293477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22827552--0.22822758) × cos(-0.77026515) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.717726064118401 × 6371000     		du = 219.212014250633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77023074)-sin(-0.77026515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717750024256286-0.717726064118401)×R²
    abs(-0.22822758--0.22827552)×2.39601378847487e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39601378847487e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39601378847487e-05×40589641000000     		ar = 48057.799307137m²