Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60774 / 40630
↖ ↑ ↗
← N 56.283010°
W 13.079224°		 ← 169.54 m → N 56.283010°
W 13.076477°		 →
↑
169.53 m
↓
↑
169.53 m
↓
N 56.281486°
W 13.079224°		 ← 169.55 m →
28 743 m²		 N 56.281486°
W 13.076477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463672637939453 y=0.309986114501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463672637939453 × 217)
    floor (0.463672637939453 × 131072)
    floor (60774.5)     		tx = 60774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309986114501953 × 217)
    floor (0.309986114501953 × 131072)
    floor (40630.5)     		ty = 40630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60774 / 40630 ti = "17/60774/40630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60774/40630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60774 ÷ 217
    60774 ÷ 131072     		x = 0.463668823242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40630 ÷ 217
    40630 ÷ 131072     		y = 0.309982299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463668823242188 × 2 - 1) × π
    -0.072662353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22827552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309982299804688 × 2 - 1) × π
    0.380035400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19391642193712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22827552} λ = -0.22827552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19391642193712))-π/2
    2×atan(3.29998004649378)-π/2
    2×1.27656008349896-π/2
    2.55312016699791-1.57079632675     		φ = 0.98232384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22827552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.079224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98232384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.283010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60774 KachelY 40630 -0.22827552 0.98232384 -13.079224 56.283010
    Oben rechts KachelX + 1 60775 KachelY 40630 -0.22822758 0.98232384 -13.076477 56.283010
    Unten links KachelX 60774 KachelY + 1 40631 -0.22827552 0.98229723 -13.079224 56.281486
    Unten rechts KachelX + 1 60775 KachelY + 1 40631 -0.22822758 0.98229723 -13.076477 56.281486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98232384-0.98229723) × R
    2.6609999999927e-05 × 6371000     		dl = 169.532309999535m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98232384-0.98229723) × R
    2.6609999999927e-05 × 6371000     		dr = 169.532309999535m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22827552--0.22822758) × cos(0.98232384) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.555091101468886 × 6371000     		do = 169.539110433537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22827552--0.22822758) × cos(0.98229723) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.555113235192498 × 6371000     		du = 169.54587064245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98232384)-sin(0.98229723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555091101468886-0.555113235192498)×R²
    abs(-0.22822758--0.22827552)×2.2133723612261e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.2133723612261e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.2133723612261e-05×40589641000000     		ar = 28742.9300656294m²