Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60772 / 83564
↖ ↑ ↗
← S 44.300264°
W 13.084717°		 ← 218.59 m → S 44.300264°
W 13.081970°		 →
↑
218.59 m
↓
↑
218.59 m
↓
S 44.302230°
W 13.084717°		 ← 218.58 m →
47 781 m²		 S 44.302230°
W 13.081970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463657379150391 y=0.637546539306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463657379150391 × 217)
    floor (0.463657379150391 × 131072)
    floor (60772.5)     		tx = 60772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637546539306641 × 217)
    floor (0.637546539306641 × 131072)
    floor (83564.5)     		ty = 83564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60772 / 83564 ti = "17/60772/83564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60772/83564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60772 ÷ 217
    60772 ÷ 131072     		x = 0.463653564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83564 ÷ 217
    83564 ÷ 131072     		y = 0.637542724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463653564453125 × 2 - 1) × π
    -0.07269287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22837139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637542724609375 × 2 - 1) × π
    -0.27508544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.864206426350372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22837139} λ = -0.22837139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.864206426350372))-π/2
    2×atan(0.42138582066023)-π/2
    2×0.398805426663205-π/2
    0.797610853326409-1.57079632675     		φ = -0.77318547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22837139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.084717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77318547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.300264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60772 KachelY 83564 -0.22837139 -0.77318547 -13.084717 -44.300264
    Oben rechts KachelX + 1 60773 KachelY 83564 -0.22832345 -0.77318547 -13.081970 -44.300264
    Unten links KachelX 60772 KachelY + 1 83565 -0.22837139 -0.77321978 -13.084717 -44.302230
    Unten rechts KachelX + 1 60773 KachelY + 1 83565 -0.22832345 -0.77321978 -13.081970 -44.302230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77318547--0.77321978) × R
    3.43099999999819e-05 × 6371000     		dl = 218.589009999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77318547--0.77321978) × R
    3.43099999999819e-05 × 6371000     		dr = 218.589009999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22837139--0.22832345) × cos(-0.77318547) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.715689513047268 × 6371000     		do = 218.589999132685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22837139--0.22832345) × cos(-0.77321978) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.715665549884349 × 6371000     		du = 218.582680165917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77318547)-sin(-0.77321978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715689513047268-0.715665549884349)×R²
    abs(-0.22832345--0.22837139)×2.39631629185277e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39631629185277e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39631629185277e-05×40589641000000     		ar = 47780.5715881043m²