Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60772 / 56148
↖ ↑ ↗
← N 24.956180°
W 13.084717°		 ← 276.91 m → N 24.956180°
W 13.081970°		 →
↑
276.88 m
↓
↑
276.88 m
↓
N 24.953690°
W 13.084717°		 ← 276.91 m →
76 672 m²		 N 24.953690°
W 13.081970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463657379150391 y=0.428379058837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463657379150391 × 217)
    floor (0.463657379150391 × 131072)
    floor (60772.5)     		tx = 60772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428379058837891 × 217)
    floor (0.428379058837891 × 131072)
    floor (56148.5)     		ty = 56148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60772 / 56148 ti = "17/60772/56148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60772/56148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60772 ÷ 217
    60772 ÷ 131072     		x = 0.463653564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56148 ÷ 217
    56148 ÷ 131072     		y = 0.428375244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463653564453125 × 2 - 1) × π
    -0.07269287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22837139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428375244140625 × 2 - 1) × π
    0.14324951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.450031613633087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22837139} λ = -0.22837139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.450031613633087))-π/2
    2×atan(1.56836176631988)-π/2
    2×1.00318191842682-π/2
    2.00636383685364-1.57079632675     		φ = 0.43556751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22837139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.084717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43556751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.956180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60772 KachelY 56148 -0.22837139 0.43556751 -13.084717 24.956180
    Oben rechts KachelX + 1 60773 KachelY 56148 -0.22832345 0.43556751 -13.081970 24.956180
    Unten links KachelX 60772 KachelY + 1 56149 -0.22837139 0.43552405 -13.084717 24.953690
    Unten rechts KachelX + 1 60773 KachelY + 1 56149 -0.22832345 0.43552405 -13.081970 24.953690
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43556751-0.43552405) × R
    4.34599999999952e-05 × 6371000     		dl = 276.883659999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43556751-0.43552405) × R
    4.34599999999952e-05 × 6371000     		dr = 276.883659999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22837139--0.22832345) × cos(0.43556751) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.906630741658569 × 6371000     		do = 276.908365177796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22837139--0.22832345) × cos(0.43552405) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.906649077662476 × 6371000     		du = 276.913965465358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43556751)-sin(0.43552405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906630741658569-0.906649077662476)×R²
    abs(-0.22832345--0.22837139)×1.83360039066605e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83360039066605e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83360039066605e-05×40589641000000     		ar = 76672.1769611131m²