Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60771 / 40734
↖ ↑ ↗
← N 56.124123°
W 13.087464°		 ← 170.24 m → N 56.124123°
W 13.084717°		 →
↑
170.23 m
↓
↑
170.23 m
↓
N 56.122592°
W 13.087464°		 ← 170.25 m →
28 982 m²		 N 56.122592°
W 13.084717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463649749755859 y=0.310779571533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463649749755859 × 217)
    floor (0.463649749755859 × 131072)
    floor (60771.5)     		tx = 60771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310779571533203 × 217)
    floor (0.310779571533203 × 131072)
    floor (40734.5)     		ty = 40734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60771 / 40734 ti = "17/60771/40734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60771/40734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60771 ÷ 217
    60771 ÷ 131072     		x = 0.463645935058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40734 ÷ 217
    40734 ÷ 131072     		y = 0.310775756835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463645935058594 × 2 - 1) × π
    -0.0727081298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22841933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310775756835938 × 2 - 1) × π
    0.378448486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.18893098437663
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22841933} λ = -0.22841933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18893098437663))-π/2
    2×atan(3.28356914377704)-π/2
    2×1.27517352633276-π/2
    2.55034705266552-1.57079632675     		φ = 0.97955073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22841933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.087464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97955073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.124123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60771 KachelY 40734 -0.22841933 0.97955073 -13.087464 56.124123
    Oben rechts KachelX + 1 60772 KachelY 40734 -0.22837139 0.97955073 -13.084717 56.124123
    Unten links KachelX 60771 KachelY + 1 40735 -0.22841933 0.97952401 -13.087464 56.122592
    Unten rechts KachelX + 1 60772 KachelY + 1 40735 -0.22837139 0.97952401 -13.084717 56.122592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97955073-0.97952401) × R
    2.67200000000356e-05 × 6371000     		dl = 170.233120000227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97955073-0.97952401) × R
    2.67200000000356e-05 × 6371000     		dr = 170.233120000227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22841933--0.22837139) × cos(0.97955073) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.557395608091608 × 6371000     		do = 170.242966074116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22841933--0.22837139) × cos(0.97952401) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.557417792093353 × 6371000     		du = 170.249741639265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97955073)-sin(0.97952401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557395608091608-0.557417792093353)×R²
    abs(-0.22837139--0.22841933)×2.21840017449182e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21840017449182e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21840017449182e-05×40589641000000     		ar = 28981.5679873742m²