Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60771 / 40613
↖ ↑ ↗
← N 56.308920°
W 13.087464°		 ← 169.42 m → N 56.308920°
W 13.084717°		 →
↑
169.47 m
↓
↑
169.47 m
↓
N 56.307396°
W 13.087464°		 ← 169.43 m →
28 713 m²		 N 56.307396°
W 13.084717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463649749755859 y=0.309856414794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463649749755859 × 217)
    floor (0.463649749755859 × 131072)
    floor (60771.5)     		tx = 60771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309856414794922 × 217)
    floor (0.309856414794922 × 131072)
    floor (40613.5)     		ty = 40613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60771 / 40613 ti = "17/60771/40613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60771/40613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60771 ÷ 217
    60771 ÷ 131072     		x = 0.463645935058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40613 ÷ 217
    40613 ÷ 131072     		y = 0.309852600097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463645935058594 × 2 - 1) × π
    -0.0727081298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22841933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309852600097656 × 2 - 1) × π
    0.380294799804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.19473134923066
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22841933} λ = -0.22841933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19473134923066))-π/2
    2×atan(3.30267038636862)-π/2
    2×1.27678618629535-π/2
    2.5535723725907-1.57079632675     		φ = 0.98277605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22841933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.087464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98277605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.308920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60771 KachelY 40613 -0.22841933 0.98277605 -13.087464 56.308920
    Oben rechts KachelX + 1 60772 KachelY 40613 -0.22837139 0.98277605 -13.084717 56.308920
    Unten links KachelX 60771 KachelY + 1 40614 -0.22841933 0.98274945 -13.087464 56.307396
    Unten rechts KachelX + 1 60772 KachelY + 1 40614 -0.22837139 0.98274945 -13.084717 56.307396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98277605-0.98274945) × R
    2.65999999999877e-05 × 6371000     		dl = 169.468599999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98277605-0.98274945) × R
    2.65999999999877e-05 × 6371000     		dr = 169.468599999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22841933--0.22837139) × cos(0.98277605) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.554714901169242 × 6371000     		do = 169.42420917863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22841933--0.22837139) × cos(0.98274945) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.554737033250049 × 6371000     		du = 169.430968885788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98277605)-sin(0.98274945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554714901169242-0.554737033250049)×R²
    abs(-0.22837139--0.22841933)×2.21320808071468e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21320808071468e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21320808071468e-05×40589641000000     		ar = 28712.656316305m²