Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60770 / 32742
↖ ↑ ↗
← N 66.541704°
W 13.090210°		 ← 121.56 m → N 66.541704°
W 13.087464°		 →
↑
121.62 m
↓
↑
121.62 m
↓
N 66.540611°
W 13.090210°		 ← 121.56 m →
14 785 m²		 N 66.540611°
W 13.087464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463642120361328 y=0.249805450439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463642120361328 × 217)
    floor (0.463642120361328 × 131072)
    floor (60770.5)     		tx = 60770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.249805450439453 × 217)
    floor (0.249805450439453 × 131072)
    floor (32742.5)     		ty = 32742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60770 / 32742 ti = "17/60770/32742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60770/32742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60770 ÷ 217
    60770 ÷ 131072     		x = 0.463638305664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32742 ÷ 217
    32742 ÷ 131072     		y = 0.249801635742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463638305664062 × 2 - 1) × π
    -0.072723388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22846726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.249801635742188 × 2 - 1) × π
    0.500396728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.57204268614012
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22846726} λ = -0.22846726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57204268614012))-π/2
    2×atan(4.81647670228259)-π/2
    2×1.36608407701748-π/2
    2.73216815403495-1.57079632675     		φ = 1.16137183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22846726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.090210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16137183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.541704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60770 KachelY 32742 -0.22846726 1.16137183 -13.090210 66.541704
    Oben rechts KachelX + 1 60771 KachelY 32742 -0.22841933 1.16137183 -13.087464 66.541704
    Unten links KachelX 60770 KachelY + 1 32743 -0.22846726 1.16135274 -13.090210 66.540611
    Unten rechts KachelX + 1 60771 KachelY + 1 32743 -0.22841933 1.16135274 -13.087464 66.540611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16137183-1.16135274) × R
    1.90899999998884e-05 × 6371000     		dl = 121.622389999289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16137183-1.16135274) × R
    1.90899999998884e-05 × 6371000     		dr = 121.622389999289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22846726--0.22841933) × cos(1.16137183) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.398081456030072 × 6371000     		do = 121.558961518703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22846726--0.22841933) × cos(1.16135274) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.398098968170407 × 6371000     		du = 121.564309061425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16137183)-sin(1.16135274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398081456030072-0.398098968170407)×R²
    abs(-0.22841933--0.22846726)×1.75121403348522e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.75121403348522e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.75121403348522e-05×40589641000000     		ar = 14784.6166165477m²