Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60769 / 33760
↖ ↑ ↗
← N 65.403445°
W 13.092957°		 ← 127.13 m → N 65.403445°
W 13.090210°		 →
↑
127.10 m
↓
↑
127.10 m
↓
N 65.402302°
W 13.092957°		 ← 127.13 m →
16 158 m²		 N 65.402302°
W 13.090210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463634490966797 y=0.257572174072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463634490966797 × 217)
    floor (0.463634490966797 × 131072)
    floor (60769.5)     		tx = 60769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257572174072266 × 217)
    floor (0.257572174072266 × 131072)
    floor (33760.5)     		ty = 33760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60769 / 33760 ti = "17/60769/33760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60769/33760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60769 ÷ 217
    60769 ÷ 131072     		x = 0.463630676269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33760 ÷ 217
    33760 ÷ 131072     		y = 0.257568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463630676269531 × 2 - 1) × π
    -0.0727386474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22851520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257568359375 × 2 - 1) × π
    0.48486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.5232429223269
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22851520} λ = -0.22851520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5232429223269))-π/2
    2×atan(4.5870766343275)-π/2
    2×1.35615089023954-π/2
    2.71230178047907-1.57079632675     		φ = 1.14150545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22851520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.092957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14150545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.403445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60769 KachelY 33760 -0.22851520 1.14150545 -13.092957 65.403445
    Oben rechts KachelX + 1 60770 KachelY 33760 -0.22846726 1.14150545 -13.090210 65.403445
    Unten links KachelX 60769 KachelY + 1 33761 -0.22851520 1.14148550 -13.092957 65.402302
    Unten rechts KachelX + 1 60770 KachelY + 1 33761 -0.22846726 1.14148550 -13.090210 65.402302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14150545-1.14148550) × R
    1.99499999999908e-05 × 6371000     		dl = 127.101449999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14150545-1.14148550) × R
    1.99499999999908e-05 × 6371000     		dr = 127.101449999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22851520--0.22846726) × cos(1.14150545) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.416226128964564 × 6371000     		do = 127.126173446328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22851520--0.22846726) × cos(1.14148550) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.416244268641354 × 6371000     		du = 127.131713770534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14150545)-sin(1.14148550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416226128964564-0.416244268641354)×R²
    abs(-0.22846726--0.22851520)×1.81396767899855e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81396767899855e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81396767899855e-05×40589641000000     		ar = 16158.2730701449m²