Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60769 / 32743
↖ ↑ ↗
← N 66.540611°
W 13.092957°		 ← 121.59 m → N 66.540611°
W 13.090210°		 →
↑
121.56 m
↓
↑
121.56 m
↓
N 66.539517°
W 13.092957°		 ← 121.60 m →
14 781 m²		 N 66.539517°
W 13.090210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463634490966797 y=0.249813079833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463634490966797 × 217)
    floor (0.463634490966797 × 131072)
    floor (60769.5)     		tx = 60769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.249813079833984 × 217)
    floor (0.249813079833984 × 131072)
    floor (32743.5)     		ty = 32743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60769 / 32743 ti = "17/60769/32743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60769/32743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60769 ÷ 217
    60769 ÷ 131072     		x = 0.463630676269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32743 ÷ 217
    32743 ÷ 131072     		y = 0.249809265136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463630676269531 × 2 - 1) × π
    -0.0727386474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22851520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.249809265136719 × 2 - 1) × π
    0.500381469726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.5719947492405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22851520} λ = -0.22851520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5719947492405))-π/2
    2×atan(4.8162458208563)-π/2
    2×1.36607453541222-π/2
    2.73214907082445-1.57079632675     		φ = 1.16135274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22851520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.092957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16135274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.540611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60769 KachelY 32743 -0.22851520 1.16135274 -13.092957 66.540611
    Oben rechts KachelX + 1 60770 KachelY 32743 -0.22846726 1.16135274 -13.090210 66.540611
    Unten links KachelX 60769 KachelY + 1 32744 -0.22851520 1.16133366 -13.092957 66.539517
    Unten rechts KachelX + 1 60770 KachelY + 1 32744 -0.22846726 1.16133366 -13.090210 66.539517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16135274-1.16133366) × R
    1.90800000001712e-05 × 6371000     		dl = 121.558680001091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16135274-1.16133366) × R
    1.90800000001712e-05 × 6371000     		dr = 121.558680001091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22851520--0.22846726) × cos(1.16135274) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.398098968170407 × 6371000     		do = 121.589671946674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22851520--0.22846726) × cos(1.16133366) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.398116470992315 × 6371000     		du = 121.595017759007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16135274)-sin(1.16133366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398098968170407-0.398116470992315)×R²
    abs(-0.22846726--0.22851520)×1.75028219079332e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.75028219079332e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.75028219079332e-05×40589641000000     		ar = 14780.6049389157m²