Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60768 / 32158
↖ ↑ ↗
← N 67.172086°
W 13.095703°		 ← 118.49 m → N 67.172086°
W 13.092957°		 →
↑
118.50 m
↓
↑
118.50 m
↓
N 67.171021°
W 13.095703°		 ← 118.50 m →
14 042 m²		 N 67.171021°
W 13.092957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463626861572266 y=0.245349884033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463626861572266 × 217)
    floor (0.463626861572266 × 131072)
    floor (60768.5)     		tx = 60768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245349884033203 × 217)
    floor (0.245349884033203 × 131072)
    floor (32158.5)     		ty = 32158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60768 / 32158 ti = "17/60768/32158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60768/32158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60768 ÷ 217
    60768 ÷ 131072     		x = 0.463623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32158 ÷ 217
    32158 ÷ 131072     		y = 0.245346069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463623046875 × 2 - 1) × π
    -0.07275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22856314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.245346069335938 × 2 - 1) × π
    0.509307861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.60003783551823
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22856314} λ = -0.22856314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60003783551823))-π/2
    2×atan(4.95321982848897)-π/2
    2×1.37158519836197-π/2
    2.74317039672394-1.57079632675     		φ = 1.17237407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22856314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.095703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17237407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.172086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60768 KachelY 32158 -0.22856314 1.17237407 -13.095703 67.172086
    Oben rechts KachelX + 1 60769 KachelY 32158 -0.22851520 1.17237407 -13.092957 67.172086
    Unten links KachelX 60768 KachelY + 1 32159 -0.22856314 1.17235547 -13.095703 67.171021
    Unten rechts KachelX + 1 60769 KachelY + 1 32159 -0.22851520 1.17235547 -13.092957 67.171021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17237407-1.17235547) × R
    1.85999999999797e-05 × 6371000     		dl = 118.500599999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17237407-1.17235547) × R
    1.85999999999797e-05 × 6371000     		dr = 118.500599999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22856314--0.22851520) × cos(1.17237407) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.387964660502475 × 6371000     		do = 118.494393527808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22856314--0.22851520) × cos(1.17235547) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.387981803576404 × 6371000     		du = 118.499629463849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17237407)-sin(1.17235547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387964660502475-0.387981803576404)×R²
    abs(-0.22851520--0.22856314)×1.71430739296929e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.71430739296929e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.71430739296929e-05×40589641000000     		ar = 14041.9669607601m²