Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60767 / 32157
↖ ↑ ↗
← N 67.173152°
W 13.098449°		 ← 118.46 m → N 67.173152°
W 13.095703°		 →
↑
118.50 m
↓
↑
118.50 m
↓
N 67.172086°
W 13.098449°		 ← 118.47 m →
14 038 m²		 N 67.172086°
W 13.095703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463619232177734 y=0.245342254638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463619232177734 × 217)
    floor (0.463619232177734 × 131072)
    floor (60767.5)     		tx = 60767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245342254638672 × 217)
    floor (0.245342254638672 × 131072)
    floor (32157.5)     		ty = 32157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60767 / 32157 ti = "17/60767/32157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60767/32157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60767 ÷ 217
    60767 ÷ 131072     		x = 0.463615417480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32157 ÷ 217
    32157 ÷ 131072     		y = 0.245338439941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463615417480469 × 2 - 1) × π
    -0.0727691650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22861107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.245338439941406 × 2 - 1) × π
    0.509323120117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.60008577241785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22861107} λ = -0.22861107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60008577241785))-π/2
    2×atan(4.95345727618189)-π/2
    2×1.37159449706804-π/2
    2.74318899413609-1.57079632675     		φ = 1.17239267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22861107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.098449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17239267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.173152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60767 KachelY 32157 -0.22861107 1.17239267 -13.098449 67.173152
    Oben rechts KachelX + 1 60768 KachelY 32157 -0.22856314 1.17239267 -13.095703 67.173152
    Unten links KachelX 60767 KachelY + 1 32158 -0.22861107 1.17237407 -13.098449 67.172086
    Unten rechts KachelX + 1 60768 KachelY + 1 32158 -0.22856314 1.17237407 -13.095703 67.172086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17239267-1.17237407) × R
    1.85999999999797e-05 × 6371000     		dl = 118.500599999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17239267-1.17237407) × R
    1.85999999999797e-05 × 6371000     		dr = 118.500599999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22861107--0.22856314) × cos(1.17239267) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.387947517294325 × 6371000     		do = 118.464441414459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22861107--0.22856314) × cos(1.17237407) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.387964660502475 × 6371000     		du = 118.4696762993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17239267)-sin(1.17237407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387947517294325-0.387964660502475)×R²
    abs(-0.22856314--0.22861107)×1.71432081498835e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.71432081498835e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.71432081498835e-05×40589641000000     		ar = 14038.4175553715m²