Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60766 / 32741
↖ ↑ ↗
← N 66.542798°
W 13.101196°		 ← 121.58 m → N 66.542798°
W 13.098449°		 →
↑
121.56 m
↓
↑
121.56 m
↓
N 66.541704°
W 13.101196°		 ← 121.58 m →
14 779 m²		 N 66.541704°
W 13.098449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463611602783203 y=0.249797821044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463611602783203 × 217)
    floor (0.463611602783203 × 131072)
    floor (60766.5)     		tx = 60766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.249797821044922 × 217)
    floor (0.249797821044922 × 131072)
    floor (32741.5)     		ty = 32741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60766 / 32741 ti = "17/60766/32741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60766/32741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60766 ÷ 217
    60766 ÷ 131072     		x = 0.463607788085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32741 ÷ 217
    32741 ÷ 131072     		y = 0.249794006347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463607788085938 × 2 - 1) × π
    -0.072784423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22865901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.249794006347656 × 2 - 1) × π
    0.500411987304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.57209062303974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22865901} λ = -0.22865901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57209062303974))-π/2
    2×atan(4.81670759477688)-π/2
    2×1.36609361820315-π/2
    2.7321872364063-1.57079632675     		φ = 1.16139091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22865901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.101196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16139091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.542798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60766 KachelY 32741 -0.22865901 1.16139091 -13.101196 66.542798
    Oben rechts KachelX + 1 60767 KachelY 32741 -0.22861107 1.16139091 -13.098449 66.542798
    Unten links KachelX 60766 KachelY + 1 32742 -0.22865901 1.16137183 -13.101196 66.541704
    Unten rechts KachelX + 1 60767 KachelY + 1 32742 -0.22861107 1.16137183 -13.098449 66.541704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16139091-1.16137183) × R
    1.90799999999491e-05 × 6371000     		dl = 121.558679999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16139091-1.16137183) × R
    1.90799999999491e-05 × 6371000     		dr = 121.558679999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22865901--0.22861107) × cos(1.16139091) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.398063952918242 × 6371000     		do = 121.57897738737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22865901--0.22861107) × cos(1.16137183) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.398081456030072 × 6371000     		du = 121.584323288253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16139091)-sin(1.16137183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398063952918242-0.398081456030072)×R²
    abs(-0.22861107--0.22865901)×1.75031118302971e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.75031118302971e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.75031118302971e-05×40589641000000     		ar = 14779.304927774m²