Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60765 / 83600
↖ ↑ ↗
← S 44.370987°
W 13.103943°		 ← 218.33 m → S 44.370987°
W 13.101196°		 →
↑
218.33 m
↓
↑
218.33 m
↓
S 44.372950°
W 13.103943°		 ← 218.32 m →
47 667 m²		 S 44.372950°
W 13.101196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463603973388672 y=0.637821197509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463603973388672 × 217)
    floor (0.463603973388672 × 131072)
    floor (60765.5)     		tx = 60765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637821197509766 × 217)
    floor (0.637821197509766 × 131072)
    floor (83600.5)     		ty = 83600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60765 / 83600 ti = "17/60765/83600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60765/83600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60765 ÷ 217
    60765 ÷ 131072     		x = 0.463600158691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83600 ÷ 217
    83600 ÷ 131072     		y = 0.6378173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463600158691406 × 2 - 1) × π
    -0.0727996826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22870695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6378173828125 × 2 - 1) × π
    -0.275634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.865932154736694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22870695} λ = -0.22870695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.865932154736694))-π/2
    2×atan(0.42065925029979)-π/2
    2×0.398188255974626-π/2
    0.796376511949253-1.57079632675     		φ = -0.77441981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22870695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.103943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77441981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.370987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60765 KachelY 83600 -0.22870695 -0.77441981 -13.103943 -44.370987
    Oben rechts KachelX + 1 60766 KachelY 83600 -0.22865901 -0.77441981 -13.101196 -44.370987
    Unten links KachelX 60765 KachelY + 1 83601 -0.22870695 -0.77445408 -13.103943 -44.372950
    Unten rechts KachelX + 1 60766 KachelY + 1 83601 -0.22865901 -0.77445408 -13.101196 -44.372950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77441981--0.77445408) × R
    3.42700000000029e-05 × 6371000     		dl = 218.334170000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77441981--0.77445408) × R
    3.42700000000029e-05 × 6371000     		dr = 218.334170000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22870695--0.22865901) × cos(-0.77441981) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.714826882058554 × 6371000     		do = 218.32652942461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22870695--0.22865901) × cos(-0.77445408) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.714802916577846 × 6371000     		du = 218.31920974993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77441981)-sin(-0.77445408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714826882058554-0.714802916577846)×R²
    abs(-0.22865901--0.22870695)×2.39654807074885e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39654807074885e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39654807074885e-05×40589641000000     		ar = 47667.3425281425m²