Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60765 / 26485
↖ ↑ ↗
← N 72.510804°
W 13.103943°		 ← 91.79 m → N 72.510804°
W 13.101196°		 →
↑
91.81 m
↓
↑
91.81 m
↓
N 72.509979°
W 13.103943°		 ← 91.79 m →
8 427 m²		 N 72.509979°
W 13.101196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463603973388672 y=0.202068328857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463603973388672 × 217)
    floor (0.463603973388672 × 131072)
    floor (60765.5)     		tx = 60765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.202068328857422 × 217)
    floor (0.202068328857422 × 131072)
    floor (26485.5)     		ty = 26485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60765 / 26485 ti = "17/60765/26485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60765/26485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60765 ÷ 217
    60765 ÷ 131072     		x = 0.463600158691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26485 ÷ 217
    26485 ÷ 131072     		y = 0.202064514160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463600158691406 × 2 - 1) × π
    -0.0727996826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22870695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.202064514160156 × 2 - 1) × π
    0.595870971679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.87198386706281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22870695} λ = -0.22870695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87198386706281))-π/2
    2×atan(6.50118109334121)-π/2
    2×1.41817430206964-π/2
    2.83634860413927-1.57079632675     		φ = 1.26555228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22870695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.103943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26555228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.510804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60765 KachelY 26485 -0.22870695 1.26555228 -13.103943 72.510804
    Oben rechts KachelX + 1 60766 KachelY 26485 -0.22865901 1.26555228 -13.101196 72.510804
    Unten links KachelX 60765 KachelY + 1 26486 -0.22870695 1.26553787 -13.103943 72.509979
    Unten rechts KachelX + 1 60766 KachelY + 1 26486 -0.22865901 1.26553787 -13.101196 72.509979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26555228-1.26553787) × R
    1.44100000001313e-05 × 6371000     		dl = 91.8061100008363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26555228-1.26553787) × R
    1.44100000001313e-05 × 6371000     		dr = 91.8061100008363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22870695--0.22865901) × cos(1.26555228) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.300525949555991 × 6371000     		do = 91.788360532334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22870695--0.22865901) × cos(1.26553787) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.30053969340292 × 6371000     		du = 91.792558256953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26555228)-sin(1.26553787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300525949555991-0.30053969340292)×R²
    abs(-0.22865901--0.22870695)×1.37438469297035e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.37438469297035e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.37438469297035e-05×40589641000000     		ar = 8426.9250122458m²