Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60764 / 83524
↖ ↑ ↗
← S 44.221584°
W 13.106689°		 ← 218.84 m → S 44.221584°
W 13.103943°		 →
↑
218.84 m
↓
↑
218.84 m
↓
S 44.223552°
W 13.106689°		 ← 218.83 m →
47 890 m²		 S 44.223552°
W 13.103943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463596343994141 y=0.637241363525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463596343994141 × 217)
    floor (0.463596343994141 × 131072)
    floor (60764.5)     		tx = 60764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637241363525391 × 217)
    floor (0.637241363525391 × 131072)
    floor (83524.5)     		ty = 83524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60764 / 83524 ti = "17/60764/83524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60764/83524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60764 ÷ 217
    60764 ÷ 131072     		x = 0.463592529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83524 ÷ 217
    83524 ÷ 131072     		y = 0.637237548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463592529296875 × 2 - 1) × π
    -0.07281494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22875488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637237548828125 × 2 - 1) × π
    -0.27447509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.86228895036557
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22875488} λ = -0.22875488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.86228895036557))-π/2
    2×atan(0.422194593004654)-π/2
    2×0.399492044829423-π/2
    0.798984089658846-1.57079632675     		φ = -0.77181224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22875488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.106689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77181224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.221584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60764 KachelY 83524 -0.22875488 -0.77181224 -13.106689 -44.221584
    Oben rechts KachelX + 1 60765 KachelY 83524 -0.22870695 -0.77181224 -13.103943 -44.221584
    Unten links KachelX 60764 KachelY + 1 83525 -0.22875488 -0.77184659 -13.106689 -44.223552
    Unten rechts KachelX + 1 60765 KachelY + 1 83525 -0.22870695 -0.77184659 -13.103943 -44.223552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77181224--0.77184659) × R
    3.43499999999608e-05 × 6371000     		dl = 218.84384999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77181224--0.77184659) × R
    3.43499999999608e-05 × 6371000     		dr = 218.84384999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22875488--0.22870695) × cos(-0.77181224) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.716647927290886 × 6371000     		do = 218.837065872845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22875488--0.22870695) × cos(-0.77184659) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.716623969971683 × 6371000     		du = 218.829750217219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77181224)-sin(-0.77184659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716647927290886-0.716623969971683)×R²
    abs(-0.22870695--0.22875488)×2.39573192036824e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39573192036824e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39573192036824e-05×40589641000000     		ar = 47890.3455298288m²