Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60763 / 26490
↖ ↑ ↗
← N 72.506677°
W 13.109436°		 ← 91.81 m → N 72.506677°
W 13.106689°		 →
↑
91.81 m
↓
↑
91.81 m
↓
N 72.505851°
W 13.109436°		 ← 91.81 m →
8 429 m²		 N 72.505851°
W 13.106689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463588714599609 y=0.202106475830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463588714599609 × 217)
    floor (0.463588714599609 × 131072)
    floor (60763.5)     		tx = 60763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.202106475830078 × 217)
    floor (0.202106475830078 × 131072)
    floor (26490.5)     		ty = 26490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60763 / 26490 ti = "17/60763/26490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60763/26490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60763 ÷ 217
    60763 ÷ 131072     		x = 0.463584899902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26490 ÷ 217
    26490 ÷ 131072     		y = 0.202102661132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463584899902344 × 2 - 1) × π
    -0.0728302001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22880282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.202102661132812 × 2 - 1) × π
    0.595794677734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.87174418256471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22880282} λ = -0.22880282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87174418256471))-π/2
    2×atan(6.49962304774094)-π/2
    2×1.41813828224668-π/2
    2.83627656449335-1.57079632675     		φ = 1.26548024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22880282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.109436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26548024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.506677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60763 KachelY 26490 -0.22880282 1.26548024 -13.109436 72.506677
    Oben rechts KachelX + 1 60764 KachelY 26490 -0.22875488 1.26548024 -13.106689 72.506677
    Unten links KachelX 60763 KachelY + 1 26491 -0.22880282 1.26546583 -13.109436 72.505851
    Unten rechts KachelX + 1 60764 KachelY + 1 26491 -0.22875488 1.26546583 -13.106689 72.505851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26548024-1.26546583) × R
    1.44100000001313e-05 × 6371000     		dl = 91.8061100008363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26548024-1.26546583) × R
    1.44100000001313e-05 × 6371000     		dr = 91.8061100008363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22880282--0.22875488) × cos(1.26548024) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.300594658629025 × 6371000     		do = 91.8093460518104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22880282--0.22875488) × cos(1.26546583) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.300608402163937 × 6371000     		du = 91.8135436811311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26548024)-sin(1.26546583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300594658629025-0.300608402163937)×R²
    abs(-0.22875488--0.22880282)×1.37435349120141e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.37435349120141e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.37435349120141e-05×40589641000000     		ar = 8428.85160691066m²