Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60762 / 84290
↖ ↑ ↗
← S 45.710015°
W 13.112183°		 ← 213.28 m → S 45.710015°
W 13.109436°		 →
↑
213.24 m
↓
↑
213.24 m
↓
S 45.711933°
W 13.112183°		 ← 213.27 m →
45 478 m²		 S 45.711933°
W 13.109436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463581085205078 y=0.643085479736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463581085205078 × 217)
    floor (0.463581085205078 × 131072)
    floor (60762.5)     		tx = 60762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643085479736328 × 217)
    floor (0.643085479736328 × 131072)
    floor (84290.5)     		ty = 84290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60762 / 84290 ti = "17/60762/84290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60762/84290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60762 ÷ 217
    60762 ÷ 131072     		x = 0.463577270507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84290 ÷ 217
    84290 ÷ 131072     		y = 0.643081665039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463577270507812 × 2 - 1) × π
    -0.072845458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22885076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643081665039062 × 2 - 1) × π
    -0.286163330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.899008615474533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22885076} λ = -0.22885076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.899008615474533))-π/2
    2×atan(0.40697292647296)-π/2
    2×0.386503029873969-π/2
    0.773006059747937-1.57079632675     		φ = -0.79779027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22885076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.112183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79779027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.710015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60762 KachelY 84290 -0.22885076 -0.79779027 -13.112183 -45.710015
    Oben rechts KachelX + 1 60763 KachelY 84290 -0.22880282 -0.79779027 -13.109436 -45.710015
    Unten links KachelX 60762 KachelY + 1 84291 -0.22885076 -0.79782374 -13.112183 -45.711933
    Unten rechts KachelX + 1 60763 KachelY + 1 84291 -0.22880282 -0.79782374 -13.109436 -45.711933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79779027--0.79782374) × R
    3.34699999999799e-05 × 6371000     		dl = 213.237369999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79779027--0.79782374) × R
    3.34699999999799e-05 × 6371000     		dr = 213.237369999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22885076--0.22880282) × cos(-0.79779027) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.698290170355647 × 6371000     		do = 213.275792015583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22885076--0.22880282) × cos(-0.79782374) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.698266211642933 × 6371000     		du = 213.268474408023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79779027)-sin(-0.79782374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698290170355647-0.698266211642933)×R²
    abs(-0.22880282--0.22885076)×2.39587127138785e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39587127138785e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39587127138785e-05×40589641000000     		ar = 45477.5887845719m²