Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60759 / 40823
↖ ↑ ↗
← N 55.987628°
W 13.120422°		 ← 170.85 m → N 55.987628°
W 13.117676°		 →
↑
170.87 m
↓
↑
170.87 m
↓
N 55.986091°
W 13.120422°		 ← 170.85 m →
29 193 m²		 N 55.986091°
W 13.117676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463558197021484 y=0.311458587646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463558197021484 × 217)
    floor (0.463558197021484 × 131072)
    floor (60759.5)     		tx = 60759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311458587646484 × 217)
    floor (0.311458587646484 × 131072)
    floor (40823.5)     		ty = 40823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60759 / 40823 ti = "17/60759/40823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60759/40823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60759 ÷ 217
    60759 ÷ 131072     		x = 0.463554382324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40823 ÷ 217
    40823 ÷ 131072     		y = 0.311454772949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463554382324219 × 2 - 1) × π
    -0.0728912353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22899457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311454772949219 × 2 - 1) × π
    0.377090454101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.18466460031045
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22899457} λ = -0.22899457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18466460031045))-π/2
    2×atan(3.26959001806545)-π/2
    2×1.27398238722578-π/2
    2.54796477445156-1.57079632675     		φ = 0.97716845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22899457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.120422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97716845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.987628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60759 KachelY 40823 -0.22899457 0.97716845 -13.120422 55.987628
    Oben rechts KachelX + 1 60760 KachelY 40823 -0.22894663 0.97716845 -13.117676 55.987628
    Unten links KachelX 60759 KachelY + 1 40824 -0.22899457 0.97714163 -13.120422 55.986091
    Unten rechts KachelX + 1 60760 KachelY + 1 40824 -0.22894663 0.97714163 -13.117676 55.986091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97716845-0.97714163) × R
    2.6819999999983e-05 × 6371000     		dl = 170.870219999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97716845-0.97714163) × R
    2.6819999999983e-05 × 6371000     		dr = 170.870219999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22899457--0.22894663) × cos(0.97716845) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.559371905441754 × 6371000     		do = 170.846578154745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22899457--0.22894663) × cos(0.97714163) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.559394136789309 × 6371000     		du = 170.853368180523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97716845)-sin(0.97714163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559371905441754-0.559394136789309)×R²
    abs(-0.22894663--0.22899457)×2.22313475547464e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22313475547464e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22313475547464e-05×40589641000000     		ar = 29193.1725038944m²