Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60757 / 26453
↖ ↑ ↗
← N 72.537198°
W 13.125915°		 ← 91.64 m → N 72.537198°
W 13.123169°		 →
↑
91.61 m
↓
↑
91.61 m
↓
N 72.536374°
W 13.125915°		 ← 91.64 m →
8 395 m²		 N 72.536374°
W 13.123169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463542938232422 y=0.201824188232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463542938232422 × 217)
    floor (0.463542938232422 × 131072)
    floor (60757.5)     		tx = 60757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201824188232422 × 217)
    floor (0.201824188232422 × 131072)
    floor (26453.5)     		ty = 26453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60757 / 26453 ti = "17/60757/26453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60757/26453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60757 ÷ 217
    60757 ÷ 131072     		x = 0.463539123535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26453 ÷ 217
    26453 ÷ 131072     		y = 0.201820373535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463539123535156 × 2 - 1) × π
    -0.0729217529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22909044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201820373535156 × 2 - 1) × π
    0.596359252929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.87351784785065
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22909044} λ = -0.22909044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87351784785065))-π/2
    2×atan(6.51116143310434)-π/2
    2×1.41840463404282-π/2
    2.83680926808564-1.57079632675     		φ = 1.26601294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22909044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.125915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26601294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.537198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60757 KachelY 26453 -0.22909044 1.26601294 -13.125915 72.537198
    Oben rechts KachelX + 1 60758 KachelY 26453 -0.22904251 1.26601294 -13.123169 72.537198
    Unten links KachelX 60757 KachelY + 1 26454 -0.22909044 1.26599856 -13.125915 72.536374
    Unten rechts KachelX + 1 60758 KachelY + 1 26454 -0.22904251 1.26599856 -13.123169 72.536374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26601294-1.26599856) × R
    1.43799999998695e-05 × 6371000     		dl = 91.6149799991686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26601294-1.26599856) × R
    1.43799999998695e-05 × 6371000     		dr = 91.6149799991686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22909044--0.22904251) × cos(1.26601294) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.300086552320233 × 6371000     		do = 91.6350387922107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22909044--0.22904251) × cos(1.26599856) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.300100269543445 × 6371000     		du = 91.6392275113365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26601294)-sin(1.26599856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300086552320233-0.300100269543445)×R²
    abs(-0.22904251--0.22909044)×1.37172232114735e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.37172232114735e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.37172232114735e-05×40589641000000     		ar = 8395.33412092588m²