Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60755 / 83598
↖ ↑ ↗
← S 44.367060°
W 13.131409°		 ← 218.34 m → S 44.367060°
W 13.128662°		 →
↑
218.33 m
↓
↑
218.33 m
↓
S 44.369024°
W 13.131409°		 ← 218.33 m →
47 671 m²		 S 44.369024°
W 13.128662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463527679443359 y=0.637805938720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463527679443359 × 217)
    floor (0.463527679443359 × 131072)
    floor (60755.5)     		tx = 60755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637805938720703 × 217)
    floor (0.637805938720703 × 131072)
    floor (83598.5)     		ty = 83598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60755 / 83598 ti = "17/60755/83598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60755/83598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60755 ÷ 217
    60755 ÷ 131072     		x = 0.463523864746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83598 ÷ 217
    83598 ÷ 131072     		y = 0.637802124023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463523864746094 × 2 - 1) × π
    -0.0729522705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22918632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637802124023438 × 2 - 1) × π
    -0.275604248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.865836280937454
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22918632} λ = -0.22918632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.865836280937454))-π/2
    2×atan(0.420699582433668)-π/2
    2×0.39822252370765-π/2
    0.7964450474153-1.57079632675     		φ = -0.77435128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22918632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.131409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77435128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.367060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60755 KachelY 83598 -0.22918632 -0.77435128 -13.131409 -44.367060
    Oben rechts KachelX + 1 60756 KachelY 83598 -0.22913838 -0.77435128 -13.128662 -44.367060
    Unten links KachelX 60755 KachelY + 1 83599 -0.22918632 -0.77438555 -13.131409 -44.369024
    Unten rechts KachelX + 1 60756 KachelY + 1 83599 -0.22913838 -0.77438555 -13.128662 -44.369024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77435128--0.77438555) × R
    3.42700000000029e-05 × 6371000     		dl = 218.334170000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77435128--0.77438555) × R
    3.42700000000029e-05 × 6371000     		dr = 218.334170000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22918632--0.22913838) × cos(-0.77435128) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.714874803508867 × 6371000     		do = 218.341165869034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22918632--0.22913838) × cos(-0.77438555) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.714850839706975 × 6371000     		du = 218.333846707108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77435128)-sin(-0.77438555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714874803508867-0.714850839706975)×R²
    abs(-0.22913838--0.22918632)×2.39638018918464e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39638018918464e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39638018918464e-05×40589641000000     		ar = 47670.5382200347m²