Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60755 / 33893
↖ ↑ ↗
← N 65.250958°
W 13.131409°		 ← 127.86 m → N 65.250958°
W 13.128662°		 →
↑
127.87 m
↓
↑
127.87 m
↓
N 65.249808°
W 13.131409°		 ← 127.87 m →
16 350 m²		 N 65.249808°
W 13.128662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463527679443359 y=0.258586883544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463527679443359 × 217)
    floor (0.463527679443359 × 131072)
    floor (60755.5)     		tx = 60755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258586883544922 × 217)
    floor (0.258586883544922 × 131072)
    floor (33893.5)     		ty = 33893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60755 / 33893 ti = "17/60755/33893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60755/33893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60755 ÷ 217
    60755 ÷ 131072     		x = 0.463523864746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33893 ÷ 217
    33893 ÷ 131072     		y = 0.258583068847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463523864746094 × 2 - 1) × π
    -0.0729522705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22918632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258583068847656 × 2 - 1) × π
    0.482833862304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.51686731467744
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22918632} λ = -0.22918632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51686731467744))-π/2
    2×atan(4.5579242642355)-π/2
    2×1.35482019120255-π/2
    2.70964038240509-1.57079632675     		φ = 1.13884406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22918632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.131409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13884406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.250958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60755 KachelY 33893 -0.22918632 1.13884406 -13.131409 65.250958
    Oben rechts KachelX + 1 60756 KachelY 33893 -0.22913838 1.13884406 -13.128662 65.250958
    Unten links KachelX 60755 KachelY + 1 33894 -0.22918632 1.13882399 -13.131409 65.249808
    Unten rechts KachelX + 1 60756 KachelY + 1 33894 -0.22913838 1.13882399 -13.128662 65.249808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13884406-1.13882399) × R
    2.00700000001497e-05 × 6371000     		dl = 127.865970000954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13884406-1.13882399) × R
    2.00700000001497e-05 × 6371000     		dr = 127.865970000954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22918632--0.22913838) × cos(1.13884406) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.418644550533661 × 6371000     		do = 127.864821643701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22918632--0.22913838) × cos(1.13882399) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.418662777023356 × 6371000     		du = 127.870388482804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13884406)-sin(1.13882399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418644550533661-0.418662777023356)×R²
    abs(-0.22913838--0.22918632)×1.82264896946283e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82264896946283e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82264896946283e-05×40589641000000     		ar = 16349.9153535527m²