Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60754 / 83592
↖ ↑ ↗
← S 44.355278°
W 13.134155°		 ← 218.34 m → S 44.355278°
W 13.131409°		 →
↑
218.33 m
↓
↑
218.33 m
↓
S 44.357242°
W 13.134155°		 ← 218.33 m →
47 670 m²		 S 44.357242°
W 13.131409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463520050048828 y=0.637760162353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463520050048828 × 217)
    floor (0.463520050048828 × 131072)
    floor (60754.5)     		tx = 60754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637760162353516 × 217)
    floor (0.637760162353516 × 131072)
    floor (83592.5)     		ty = 83592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60754 / 83592 ti = "17/60754/83592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60754/83592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60754 ÷ 217
    60754 ÷ 131072     		x = 0.463516235351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83592 ÷ 217
    83592 ÷ 131072     		y = 0.63775634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463516235351562 × 2 - 1) × π
    -0.072967529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22923425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63775634765625 × 2 - 1) × π
    -0.2755126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.865548659539734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22923425} λ = -0.22923425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.865548659539734))-π/2
    2×atan(0.420820602038668)-π/2
    2×0.398325340691006-π/2
    0.796650681382012-1.57079632675     		φ = -0.77414565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22923425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.134155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77414565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.355278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60754 KachelY 83592 -0.22923425 -0.77414565 -13.134155 -44.355278
    Oben rechts KachelX + 1 60755 KachelY 83592 -0.22918632 -0.77414565 -13.131409 -44.355278
    Unten links KachelX 60754 KachelY + 1 83593 -0.22923425 -0.77417992 -13.134155 -44.357242
    Unten rechts KachelX + 1 60755 KachelY + 1 83593 -0.22918632 -0.77417992 -13.131409 -44.357242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77414565--0.77417992) × R
    3.42700000000029e-05 × 6371000     		dl = 218.334170000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77414565--0.77417992) × R
    3.42700000000029e-05 × 6371000     		dr = 218.334170000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22923425--0.22918632) × cos(-0.77414565) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.715018575679266 × 6371000     		do = 218.339523757136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22923425--0.22918632) × cos(-0.77417992) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.714994616915476 × 6371000     		du = 218.332207660389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77414565)-sin(-0.77417992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715018575679266-0.714994616915476)×R²
    abs(-0.22918632--0.22923425)×2.39587637897998e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39587637897998e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39587637897998e-05×40589641000000     		ar = 47670.1800254395m²