Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60753 / 33489
↖ ↑ ↗
← N 65.711428°
W 13.136902°		 ← 125.63 m → N 65.711428°
W 13.134155°		 →
↑
125.64 m
↓
↑
125.64 m
↓
N 65.710298°
W 13.136902°		 ← 125.64 m →
15 784 m²		 N 65.710298°
W 13.134155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463512420654297 y=0.255504608154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463512420654297 × 217)
    floor (0.463512420654297 × 131072)
    floor (60753.5)     		tx = 60753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.255504608154297 × 217)
    floor (0.255504608154297 × 131072)
    floor (33489.5)     		ty = 33489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60753 / 33489 ti = "17/60753/33489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60753/33489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60753 ÷ 217
    60753 ÷ 131072     		x = 0.463508605957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33489 ÷ 217
    33489 ÷ 131072     		y = 0.255500793457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463508605957031 × 2 - 1) × π
    -0.0729827880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22928219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.255500793457031 × 2 - 1) × π
    0.488998413085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.53623382212394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22928219} λ = -0.22928219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53623382212394))-π/2
    2×atan(4.64705563431507)-π/2
    2×1.35883854840625-π/2
    2.7176770968125-1.57079632675     		φ = 1.14688077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22928219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.136902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14688077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.711428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60753 KachelY 33489 -0.22928219 1.14688077 -13.136902 65.711428
    Oben rechts KachelX + 1 60754 KachelY 33489 -0.22923425 1.14688077 -13.134155 65.711428
    Unten links KachelX 60753 KachelY + 1 33490 -0.22928219 1.14686105 -13.136902 65.710298
    Unten rechts KachelX + 1 60754 KachelY + 1 33490 -0.22923425 1.14686105 -13.134155 65.710298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14688077-1.14686105) × R
    1.97200000000564e-05 × 6371000     		dl = 125.636120000359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14688077-1.14686105) × R
    1.97200000000564e-05 × 6371000     		dr = 125.636120000359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22928219--0.22923425) × cos(1.14688077) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.411332569725417 × 6371000     		do = 125.631554494478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22928219--0.22923425) × cos(1.14686105) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.411350544136256 × 6371000     		du = 125.637044342209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14688077)-sin(1.14686105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411332569725417-0.411350544136256)×R²
    abs(-0.22923425--0.22928219)×1.7974410838506e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.7974410838506e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.7974410838506e-05×40589641000000     		ar = 15784.2059183963m²