Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60751 / 83590
↖ ↑ ↗
← S 44.351350°
W 13.142395°		 ← 218.35 m → S 44.351350°
W 13.139649°		 →
↑
218.40 m
↓
↑
218.40 m
↓
S 44.353314°
W 13.142395°		 ← 218.35 m →
47 687 m²		 S 44.353314°
W 13.139649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463497161865234 y=0.637744903564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463497161865234 × 217)
    floor (0.463497161865234 × 131072)
    floor (60751.5)     		tx = 60751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637744903564453 × 217)
    floor (0.637744903564453 × 131072)
    floor (83590.5)     		ty = 83590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60751 / 83590 ti = "17/60751/83590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60751/83590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60751 ÷ 217
    60751 ÷ 131072     		x = 0.463493347167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83590 ÷ 217
    83590 ÷ 131072     		y = 0.637741088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463493347167969 × 2 - 1) × π
    -0.0730133056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22937806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637741088867188 × 2 - 1) × π
    -0.275482177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.865452785740494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22937806} λ = -0.22937806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.865452785740494))-π/2
    2×atan(0.420860949642692)-π/2
    2×0.39835961761353-π/2
    0.796719235227059-1.57079632675     		φ = -0.77407709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22937806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.142395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77407709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.351350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60751 KachelY 83590 -0.22937806 -0.77407709 -13.142395 -44.351350
    Oben rechts KachelX + 1 60752 KachelY 83590 -0.22933013 -0.77407709 -13.139649 -44.351350
    Unten links KachelX 60751 KachelY + 1 83591 -0.22937806 -0.77411137 -13.142395 -44.353314
    Unten rechts KachelX + 1 60752 KachelY + 1 83591 -0.22933013 -0.77411137 -13.139649 -44.353314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77407709--0.77411137) × R
    3.42799999999421e-05 × 6371000     		dl = 218.397879999631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77407709--0.77411137) × R
    3.42799999999421e-05 × 6371000     		dr = 218.397879999631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22937806--0.22933013) × cos(-0.77407709) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.715066504668722 × 6371000     		do = 218.354159450653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22937806--0.22933013) × cos(-0.77411137) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.715042540594124 × 6371000     		du = 218.346841732186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77407709)-sin(-0.77411137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715066504668722-0.715042540594124)×R²
    abs(-0.22933013--0.22937806)×2.39640745981484e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39640745981484e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39640745981484e-05×40589641000000     		ar = 47687.2864307563m²