Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60751 / 83589
↖ ↑ ↗
← S 44.349386°
W 13.142395°		 ← 218.36 m → S 44.349386°
W 13.139649°		 →
↑
218.40 m
↓
↑
218.40 m
↓
S 44.351350°
W 13.142395°		 ← 218.35 m →
47 689 m²		 S 44.351350°
W 13.139649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463497161865234 y=0.637737274169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463497161865234 × 217)
    floor (0.463497161865234 × 131072)
    floor (60751.5)     		tx = 60751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637737274169922 × 217)
    floor (0.637737274169922 × 131072)
    floor (83589.5)     		ty = 83589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60751 / 83589 ti = "17/60751/83589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60751/83589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60751 ÷ 217
    60751 ÷ 131072     		x = 0.463493347167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83589 ÷ 217
    83589 ÷ 131072     		y = 0.637733459472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463493347167969 × 2 - 1) × π
    -0.0730133056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22937806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637733459472656 × 2 - 1) × π
    -0.275466918945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.865404848840874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22937806} λ = -0.22937806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.865404848840874))-π/2
    2×atan(0.420881124895355)-π/2
    2×0.398376756936301-π/2
    0.796753513872602-1.57079632675     		φ = -0.77404281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22937806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.142395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77404281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.349386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60751 KachelY 83589 -0.22937806 -0.77404281 -13.142395 -44.349386
    Oben rechts KachelX + 1 60752 KachelY 83589 -0.22933013 -0.77404281 -13.139649 -44.349386
    Unten links KachelX 60751 KachelY + 1 83590 -0.22937806 -0.77407709 -13.142395 -44.351350
    Unten rechts KachelX + 1 60752 KachelY + 1 83590 -0.22933013 -0.77407709 -13.139649 -44.351350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77404281--0.77407709) × R
    3.42800000000532e-05 × 6371000     		dl = 218.397880000339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77404281--0.77407709) × R
    3.42800000000532e-05 × 6371000     		dr = 218.397880000339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22937806--0.22933013) × cos(-0.77404281) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.715090467903033 × 6371000     		do = 218.361476912527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22937806--0.22933013) × cos(-0.77407709) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.715066504668722 × 6371000     		du = 218.354159450653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77404281)-sin(-0.77407709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715090467903033-0.715066504668722)×R²
    abs(-0.22933013--0.22937806)×2.39632343105312e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39632343105312e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39632343105312e-05×40589641000000     		ar = 47688.8845770067m²