Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60748 / 26457
↖ ↑ ↗
← N 72.533901°
W 13.150635°		 ← 91.67 m → N 72.533901°
W 13.147888°		 →
↑
91.68 m
↓
↑
91.68 m
↓
N 72.533077°
W 13.150635°		 ← 91.68 m →
8 404 m²		 N 72.533077°
W 13.147888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463474273681641 y=0.201854705810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463474273681641 × 217)
    floor (0.463474273681641 × 131072)
    floor (60748.5)     		tx = 60748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201854705810547 × 217)
    floor (0.201854705810547 × 131072)
    floor (26457.5)     		ty = 26457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60748 / 26457 ti = "17/60748/26457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60748/26457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60748 ÷ 217
    60748 ÷ 131072     		x = 0.463470458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26457 ÷ 217
    26457 ÷ 131072     		y = 0.201850891113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463470458984375 × 2 - 1) × π
    -0.07305908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22952188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201850891113281 × 2 - 1) × π
    0.596298217773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.87332610025217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22952188} λ = -0.22952188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87332610025217))-π/2
    2×atan(6.50991305322697)-π/2
    2×1.41837586097372-π/2
    2.83675172194743-1.57079632675     		φ = 1.26595540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22952188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.150635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26595540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.533901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60748 KachelY 26457 -0.22952188 1.26595540 -13.150635 72.533901
    Oben rechts KachelX + 1 60749 KachelY 26457 -0.22947394 1.26595540 -13.147888 72.533901
    Unten links KachelX 60748 KachelY + 1 26458 -0.22952188 1.26594101 -13.150635 72.533077
    Unten rechts KachelX + 1 60749 KachelY + 1 26458 -0.22947394 1.26594101 -13.147888 72.533077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26595540-1.26594101) × R
    1.43900000000308e-05 × 6371000     		dl = 91.678690000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26595540-1.26594101) × R
    1.43900000000308e-05 × 6371000     		dr = 91.678690000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22952188--0.22947394) × cos(1.26595540) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.300141439918626 × 6371000     		do = 91.6709213918581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22952188--0.22947394) × cos(1.26594101) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.300155166432414 × 6371000     		du = 91.6751138224894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26595540)-sin(1.26594101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300141439918626-0.300155166432414)×R²
    abs(-0.22947394--0.22952188)×1.37265137880038e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.37265137880038e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.37265137880038e-05×40589641000000     		ar = 8404.4621626194m²