Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60745 / 26450
↖ ↑ ↗
← N 72.539671°
W 13.158875°		 ← 91.64 m → N 72.539671°
W 13.156128°		 →
↑
91.61 m
↓
↑
91.61 m
↓
N 72.538847°
W 13.158875°		 ← 91.65 m →
8 396 m²		 N 72.538847°
W 13.156128°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463451385498047 y=0.201801300048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463451385498047 × 217)
    floor (0.463451385498047 × 131072)
    floor (60745.5)     		tx = 60745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201801300048828 × 217)
    floor (0.201801300048828 × 131072)
    floor (26450.5)     		ty = 26450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60745 / 26450 ti = "17/60745/26450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60745/26450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60745 ÷ 217
    60745 ÷ 131072     		x = 0.463447570800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26450 ÷ 217
    26450 ÷ 131072     		y = 0.201797485351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463447570800781 × 2 - 1) × π
    -0.0731048583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22966569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201797485351562 × 2 - 1) × π
    0.596405029296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.87366165854951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22966569} λ = -0.22966569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87366165854951))-π/2
    2×atan(6.512097875114)-π/2
    2×1.41842621039114-π/2
    2.83685242078229-1.57079632675     		φ = 1.26605609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22966569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.158875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26605609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.539671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60745 KachelY 26450 -0.22966569 1.26605609 -13.158875 72.539671
    Oben rechts KachelX + 1 60746 KachelY 26450 -0.22961775 1.26605609 -13.156128 72.539671
    Unten links KachelX 60745 KachelY + 1 26451 -0.22966569 1.26604171 -13.158875 72.538847
    Unten rechts KachelX + 1 60746 KachelY + 1 26451 -0.22961775 1.26604171 -13.156128 72.538847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26605609-1.26604171) × R
    1.43799999998695e-05 × 6371000     		dl = 91.6149799991686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26605609-1.26604171) × R
    1.43799999998695e-05 × 6371000     		dr = 91.6149799991686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22966569--0.22961775) × cos(1.26605609) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.300045390739041 × 6371000     		do = 91.6415855000538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22966569--0.22961775) × cos(1.26604171) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.300059108148447 × 6371000     		du = 91.6457751499725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26605609)-sin(1.26604171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300045390739041-0.300059108148447)×R²
    abs(-0.22961775--0.22966569)×1.37174094057557e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.37174094057557e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.37174094057557e-05×40589641000000     		ar = 8395.93394008076m²