Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60743 / 32189
↖ ↑ ↗
← N 67.139031°
W 13.164368°		 ← 118.66 m → N 67.139031°
W 13.161621°		 →
↑
118.63 m
↓
↑
118.63 m
↓
N 67.137964°
W 13.164368°		 ← 118.66 m →
14 076 m²		 N 67.137964°
W 13.161621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463436126708984 y=0.245586395263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463436126708984 × 217)
    floor (0.463436126708984 × 131072)
    floor (60743.5)     		tx = 60743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245586395263672 × 217)
    floor (0.245586395263672 × 131072)
    floor (32189.5)     		ty = 32189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60743 / 32189 ti = "17/60743/32189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60743/32189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60743 ÷ 217
    60743 ÷ 131072     		x = 0.463432312011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32189 ÷ 217
    32189 ÷ 131072     		y = 0.245582580566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463432312011719 × 2 - 1) × π
    -0.0731353759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22976156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.245582580566406 × 2 - 1) × π
    0.508834838867188 × 3.1415926535     		Φ = 1.59855179163001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22976156} λ = -0.22976156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59855179163001))-π/2
    2×atan(4.94586459289084)-π/2
    2×1.37129673461976-π/2
    2.74259346923952-1.57079632675     		φ = 1.17179714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22976156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.164368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17179714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.139031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60743 KachelY 32189 -0.22976156 1.17179714 -13.164368 67.139031
    Oben rechts KachelX + 1 60744 KachelY 32189 -0.22971362 1.17179714 -13.161621 67.139031
    Unten links KachelX 60743 KachelY + 1 32190 -0.22976156 1.17177852 -13.164368 67.137964
    Unten rechts KachelX + 1 60744 KachelY + 1 32190 -0.22971362 1.17177852 -13.161621 67.137964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17179714-1.17177852) × R
    1.86200000000802e-05 × 6371000     		dl = 118.628020000511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17179714-1.17177852) × R
    1.86200000000802e-05 × 6371000     		dr = 118.628020000511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22976156--0.22971362) × cos(1.17179714) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.388496337431071 × 6371000     		do = 118.656781347165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22976156--0.22971362) × cos(1.17177852) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.388513494767708 × 6371000     		du = 118.662021639404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17179714)-sin(1.17177852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388496337431071-0.388513494767708)×R²
    abs(-0.22971362--0.22976156)×1.71573366365418e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.71573366365418e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.71573366365418e-05×40589641000000     		ar = 14076.3298540016m²