Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60742 / 41308
↖ ↑ ↗
← N 55.235288°
W 13.167114°		 ← 174.16 m → N 55.235288°
W 13.164368°		 →
↑
174.12 m
↓
↑
174.12 m
↓
N 55.233722°
W 13.167114°		 ← 174.16 m →
30 325 m²		 N 55.233722°
W 13.164368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463428497314453 y=0.315158843994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463428497314453 × 217)
    floor (0.463428497314453 × 131072)
    floor (60742.5)     		tx = 60742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315158843994141 × 217)
    floor (0.315158843994141 × 131072)
    floor (41308.5)     		ty = 41308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60742 / 41308 ti = "17/60742/41308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60742/41308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60742 ÷ 217
    60742 ÷ 131072     		x = 0.463424682617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41308 ÷ 217
    41308 ÷ 131072     		y = 0.315155029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463424682617188 × 2 - 1) × π
    -0.073150634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22980950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315155029296875 × 2 - 1) × π
    0.36968994140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.16141520399472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22980950} λ = -0.22980950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16141520399472))-π/2
    2×atan(3.19445087834181)-π/2
    2×1.26741698318003-π/2
    2.53483396636007-1.57079632675     		φ = 0.96403764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22980950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.167114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96403764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.235288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60742 KachelY 41308 -0.22980950 0.96403764 -13.167114 55.235288
    Oben rechts KachelX + 1 60743 KachelY 41308 -0.22976156 0.96403764 -13.164368 55.235288
    Unten links KachelX 60742 KachelY + 1 41309 -0.22980950 0.96401031 -13.167114 55.233722
    Unten rechts KachelX + 1 60743 KachelY + 1 41309 -0.22976156 0.96401031 -13.164368 55.233722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96403764-0.96401031) × R
    2.73299999999921e-05 × 6371000     		dl = 174.11942999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96403764-0.96401031) × R
    2.73299999999921e-05 × 6371000     		dr = 174.11942999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22980950--0.22976156) × cos(0.96403764) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.570207719506682 × 6371000     		do = 174.156114684027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22980950--0.22976156) × cos(0.96401031) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.570230170903808 × 6371000     		du = 174.162971918609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96403764)-sin(0.96401031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570207719506682-0.570230170903808)×R²
    abs(-0.22976156--0.22980950)×2.24513971256446e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24513971256446e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24513971256446e-05×40589641000000     		ar = 30324.5604106048m²