Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60741 / 33890
↖ ↑ ↗
← N 65.254407°
W 13.169861°		 ← 127.82 m → N 65.254407°
W 13.167114°		 →
↑
127.87 m
↓
↑
127.87 m
↓
N 65.253257°
W 13.169861°		 ← 127.83 m →
16 344 m²		 N 65.253257°
W 13.167114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463420867919922 y=0.258563995361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463420867919922 × 217)
    floor (0.463420867919922 × 131072)
    floor (60741.5)     		tx = 60741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258563995361328 × 217)
    floor (0.258563995361328 × 131072)
    floor (33890.5)     		ty = 33890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60741 / 33890 ti = "17/60741/33890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60741/33890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60741 ÷ 217
    60741 ÷ 131072     		x = 0.463417053222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33890 ÷ 217
    33890 ÷ 131072     		y = 0.258560180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463417053222656 × 2 - 1) × π
    -0.0731658935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22985743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258560180664062 × 2 - 1) × π
    0.482879638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.5170111253763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22985743} λ = -0.22985743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5170111253763))-π/2
    2×atan(4.55857978964394)-π/2
    2×1.35485029201986-π/2
    2.70970058403971-1.57079632675     		φ = 1.13890426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22985743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.169861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13890426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.254407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60741 KachelY 33890 -0.22985743 1.13890426 -13.169861 65.254407
    Oben rechts KachelX + 1 60742 KachelY 33890 -0.22980950 1.13890426 -13.167114 65.254407
    Unten links KachelX 60741 KachelY + 1 33891 -0.22985743 1.13888419 -13.169861 65.253257
    Unten rechts KachelX + 1 60742 KachelY + 1 33891 -0.22980950 1.13888419 -13.167114 65.253257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13890426-1.13888419) × R
    2.00699999999276e-05 × 6371000     		dl = 127.865969999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13890426-1.13888419) × R
    2.00699999999276e-05 × 6371000     		dr = 127.865969999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22985743--0.22980950) × cos(1.13890426) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.418589879134569 × 6371000     		do = 127.821455229991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22985743--0.22980950) × cos(1.13888419) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.418608106130053 × 6371000     		du = 127.827021062333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13890426)-sin(1.13888419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418589879134569-0.418608106130053)×R²
    abs(-0.22980950--0.22985743)×1.82269954846492e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.82269954846492e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.82269954846492e-05×40589641000000     		ar = 16344.370200529m²