Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60741 / 32190
↖ ↑ ↗
← N 67.137964°
W 13.169861°		 ← 118.64 m → N 67.137964°
W 13.167114°		 →
↑
118.69 m
↓
↑
118.69 m
↓
N 67.136896°
W 13.169861°		 ← 118.64 m →
14 082 m²		 N 67.136896°
W 13.167114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463420867919922 y=0.245594024658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463420867919922 × 217)
    floor (0.463420867919922 × 131072)
    floor (60741.5)     		tx = 60741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245594024658203 × 217)
    floor (0.245594024658203 × 131072)
    floor (32190.5)     		ty = 32190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60741 / 32190 ti = "17/60741/32190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60741/32190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60741 ÷ 217
    60741 ÷ 131072     		x = 0.463417053222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32190 ÷ 217
    32190 ÷ 131072     		y = 0.245590209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463417053222656 × 2 - 1) × π
    -0.0731658935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22985743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.245590209960938 × 2 - 1) × π
    0.508819580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.59850385473039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22985743} λ = -0.22985743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59850385473039))-π/2
    2×atan(4.94562750915889)-π/2
    2×1.37128742275919-π/2
    2.74257484551838-1.57079632675     		φ = 1.17177852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22985743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.169861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17177852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.137964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60741 KachelY 32190 -0.22985743 1.17177852 -13.169861 67.137964
    Oben rechts KachelX + 1 60742 KachelY 32190 -0.22980950 1.17177852 -13.167114 67.137964
    Unten links KachelX 60741 KachelY + 1 32191 -0.22985743 1.17175989 -13.169861 67.136896
    Unten rechts KachelX + 1 60742 KachelY + 1 32191 -0.22980950 1.17175989 -13.167114 67.136896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17177852-1.17175989) × R
    1.86300000000195e-05 × 6371000     		dl = 118.691730000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17177852-1.17175989) × R
    1.86300000000195e-05 × 6371000     		dr = 118.691730000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22985743--0.22980950) × cos(1.17177852) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.388513494767708 × 6371000     		do = 118.637269444665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22985743--0.22980950) × cos(1.17175989) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.388530661184003 × 6371000     		du = 118.642511416393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17177852)-sin(1.17175989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388513494767708-0.388530661184003)×R²
    abs(-0.22980950--0.22985743)×1.71664162951224e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.71664162951224e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.71664162951224e-05×40589641000000     		ar = 14081.5738425654m²